केंद्र $O$ और त्रिज्या $5 \ cm$ वाले एक वृत्त के केंद्र से $13 \ cm$ की दूरी पर एक बिंदु $A$ है। $AP$ और $AQ$ क्रमशः बिंदुओं $P$ और $Q$ पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि लघु चाप $PQ$ पर स्थित एक बिंदु R पर एक स्पर्श रेखा $BC$ ऐसी खींची जाए, जो AP को $B$ और $AQ$ को $C$ पर प्रतिच्छेद करे, तो $\triangle \text{ABC}$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.4-14
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$OA = 13$ सेमी
$OP = OQ = 5$ सेमी
$OP$ और $PA$ क्रमशः संपर्क बिंदु $P$ पर त्रिज्या और स्पर्शरेखा हैं।
इसलिए, $\angle \text{OPA} = 90^\circ$
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण त्रिभुज $\text{OPA}$ में
$PA^2 = OA^2 - OP^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$\Rightarrow PA = 12$ सेमी
बिंदु $A, B$ और $C$ वृत्त के बाहर हैं और एक बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं इसलिए
$PA = QA$
$BP = BR$
$CR = CQ$
परिधि $\triangle \text{ABC} = AB + BC + AC$
$= AB + BR + RC + AC [$आकृति से$]$
$= AB + BP + CQ + AC = AP + AQ$
$= AP + AP = 2AP = 2 \times 12 = 24$ सेमी
तो, परिमाप $\triangle \text{ABC} = 24$ सेमी।
$OP = OQ = 5$ सेमी
$OP$ और $PA$ क्रमशः संपर्क बिंदु $P$ पर त्रिज्या और स्पर्शरेखा हैं।
इसलिए, $\angle \text{OPA} = 90^\circ$
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा समकोण त्रिभुज $\text{OPA}$ में
$PA^2 = OA^2 - OP^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$\Rightarrow PA = 12$ सेमी
बिंदु $A, B$ और $C$ वृत्त के बाहर हैं और एक बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं इसलिए
$PA = QA$
$BP = BR$
$CR = CQ$
परिधि $\triangle \text{ABC} = AB + BC + AC$
$= AB + BR + RC + AC [$आकृति से$]$
$= AB + BP + CQ + AC = AP + AQ$
$= AP + AP = 2AP = 2 \times 12 = 24$ सेमी
तो, परिमाप $\triangle \text{ABC} = 24$ सेमी।
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