यदि त्रिज्या $9 \ cm$ वाले एक वृत्त के अंतर्गत एक समद्विबाहु त्रिभुज $\text{ABC}$ खींचा गया है, जिसमें $AB = AC = 6 \ cm$ है, तो उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.4-13
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मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $\text{P, BC}$ का मध्य-बिंदु है। फिर, $OP \perp BC$
चूँकि $\text{ABC}$ समद्विबाहु है और $\text{P, BC}$ का मध्य-बिंदु है।
इसलिए,$ AP \perp BC$ क्योंकि एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष से माध्यिका आधार पर लंबवत होती है।
माना $AP = x$ और $PB = CP = y$
$\triangle APB$ और $\triangle OPB$ में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हमें
$AB^2 = BP^2 + AP^2$ और, $OB^2 = OP^2 + BP^2$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow 36 = y^2 + x^2 ...(i)$
और, $81 = (9 - x)^2 + y^2 ...(ii)$
$\Rightarrow 81 - 36 = [(9 - x)^2 + y^2] - (y^2 + x^2) [(i) $को $(ii)$ से घटाना$]$
$\Rightarrow 45 = 81 - 18x$
$\Rightarrow x = 2 \ cm,$ इसलिए $AP = x = 2 \ cm ...(iii)$
$\Rightarrow x = 2$ को $(i)$ में रखने पर,
$36 = y^2 + 4$
$\Rightarrow y^2 = 32 $
$\Rightarrow y = 4 \sqrt{2} cm$
$\therefore BC = 2BP = 2y = 8 \sqrt{2} cm ...(iv)$
$\therefore \triangle ABC$ का क्षेत्रफल
$= \frac{1}{2} BC \times AP$
$= \frac{1}{2} \times 2y \times x [(iii) (iv)$ से$]$
$= xy$
$= 2 \times 4 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} cm^2$
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- $\ce{PA \cdot PB = PN^2 - AN^2}$
- $\ce{PN^2 - AN^2 = OP^2 - OT^2}$
- $\ce{PA \cdot PB = PT^2}$
