एक समकोण त्रिभुज $\text{ABC,}$ जिसमें $\angle B = 90^\circ$ है, $AB$ को व्यास मान कर एक वृत्त खींचा गया है, जो कर्ण $AC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा $BC$ को समद्विभाजित करती है।
Exercise-9.4-6
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$\triangle \text{ABC}$ जिसमें $B = 90^\circ$
व्यास $AB$ वाला वृत्त कर्ण $AC$ को $P$ पर काटता है।
$BC$ से $Q$ पर मिलने के लिए $P$ पर एक स्पर्श रेखा $\text{SPQ}$ खींची जाती है।
सिद्ध करना: $Q, BC$ का मध्य बिंदु है।
निर्माण: $PB$
प्रमाण: $\text{SPQ}$ स्पर्शरेखा है और $AP$ संपर्क बिंदु $P$ पर जीवा है।
इसलिए, $\angle2 = \angle3 [$चूंकि वृत्त के एकांतर खण्ड में कोण बराबर होते हैं$]$
$\angle2 = \angle1 [$ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण$]$
$\angle 3 = \angle1 …(i) [$उपरोक्त दो संबंधों से$]$
$\text{ABC} = 90^\circ [$दिया गया है$]$
$OB$ त्रिज्या है, इसलिए $BC, B$ पर स्पर्श रेखा होगी।
इसलिए, $\angle3 = 90^\circ - \angle4 …(ii)$
$\angle \text{APB} = 90^\circ [$ एक अर्धवृत्त में $\angle]$
$C = 90^\circ - \angle 4 ...(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से, $\angle C = \angle3$
$\angle C = \angle1$
$(i)$ का उपयोग करने पर
$CQ = QP …(iv) [ \triangle \text{QPC}$ में विपरीत भुजाएँ $= \angle]$
$\angle4 = 90^\circ - \angle3 [$आकृति से$]$
$\angle5 = 90^\circ - \angle1$
$\angle3 = \angle1$
इसलिए, $\angle4 = \angle5$
$PQ = BQ …(v)$
$(iv)$ और $(v)$ से,
$BQ = CQ$
अत: $Q, BC$ का मध्य$-$बिंदु है। इसलिए सिद्ध किया।
व्यास $AB$ वाला वृत्त कर्ण $AC$ को $P$ पर काटता है।
$BC$ से $Q$ पर मिलने के लिए $P$ पर एक स्पर्श रेखा $\text{SPQ}$ खींची जाती है।
सिद्ध करना: $Q, BC$ का मध्य बिंदु है।
निर्माण: $PB$
प्रमाण: $\text{SPQ}$ स्पर्शरेखा है और $AP$ संपर्क बिंदु $P$ पर जीवा है।
इसलिए, $\angle2 = \angle3 [$चूंकि वृत्त के एकांतर खण्ड में कोण बराबर होते हैं$]$
$\angle2 = \angle1 [$ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण$]$
$\angle 3 = \angle1 …(i) [$उपरोक्त दो संबंधों से$]$
$\text{ABC} = 90^\circ [$दिया गया है$]$
$OB$ त्रिज्या है, इसलिए $BC, B$ पर स्पर्श रेखा होगी।
इसलिए, $\angle3 = 90^\circ - \angle4 …(ii)$
$\angle \text{APB} = 90^\circ [$ एक अर्धवृत्त में $\angle]$
$C = 90^\circ - \angle 4 ...(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से, $\angle C = \angle3$
$\angle C = \angle1$
$(i)$ का उपयोग करने पर
$CQ = QP …(iv) [ \triangle \text{QPC}$ में विपरीत भुजाएँ $= \angle]$
$\angle4 = 90^\circ - \angle3 [$आकृति से$]$
$\angle5 = 90^\circ - \angle1$
$\angle3 = \angle1$
इसलिए, $\angle4 = \angle5$
$PQ = BQ …(v)$
$(iv)$ और $(v)$ से,
$BQ = CQ$
अत: $Q, BC$ का मध्य$-$बिंदु है। इसलिए सिद्ध किया।
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