केंद्र $O$ वाले किसी वृत्त का $AB$ एक व्यास है और $AC$ एक जीवा इस प्रकार है कि $\angle \text{BAC} = 30^\circ$ है। $C$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा बढ़ाई गई $AB$ को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $BC = BD$ है।
Exercise-9.4-8
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दिया गया है: केंद्र $O$ वाला एक वृत्त। $C$ पर एक स्पर्शरेखा $CD$
व्यास $AB$ को $D$ तक बढ़ाया जाता है।
$BC$ और $AC$ जीवाओं को मिला दिया गया है, $\angle \text{BAC} = 30^\circ$
सिद्ध करने के लिए: $BC = BD$
उपपत्ति: $DC, C$ पर स्पर्श रेखा है और $CB, C$ पर जीवा है।
$\therefore \angle \text{DCB} = \angle \text{BAC} [$एक वृत्त के एकांतर खण्ड में$]$
$\angle \text{DCB} = 30^\circ …(i) [\because \angle \text{BAC} = 30^\circ ($दिया गया$)]$
$\text{AOB}$ व्यास है। $[$दिया गया$]$
$\therefore \angle \text{BCA} = 90^\circ [$अर्धवृत्त में कोण$]$
$\therefore \angle \text{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
$\triangle \text{BDC}$ में,
बाहरी $\angle B = \angle D + \angle \text{BCD}$
$\Rightarrow 60^\circ = \angle D + 30^\circ$
$\Rightarrow \angle D = 30^\circ …(ii)$
$\therefore \angle \text{DCB} = \angle D = 30^\circ [(i), (ii)$ से$]$
$\Rightarrow BD = BC [\because$ एक त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं$]$
व्यास $AB$ को $D$ तक बढ़ाया जाता है।
$BC$ और $AC$ जीवाओं को मिला दिया गया है, $\angle \text{BAC} = 30^\circ$
सिद्ध करने के लिए: $BC = BD$
उपपत्ति: $DC, C$ पर स्पर्श रेखा है और $CB, C$ पर जीवा है।
$\therefore \angle \text{DCB} = \angle \text{BAC} [$एक वृत्त के एकांतर खण्ड में$]$
$\angle \text{DCB} = 30^\circ …(i) [\because \angle \text{BAC} = 30^\circ ($दिया गया$)]$
$\text{AOB}$ व्यास है। $[$दिया गया$]$
$\therefore \angle \text{BCA} = 90^\circ [$अर्धवृत्त में कोण$]$
$\therefore \angle \text{ABC} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
$\triangle \text{BDC}$ में,
बाहरी $\angle B = \angle D + \angle \text{BCD}$
$\Rightarrow 60^\circ = \angle D + 30^\circ$
$\Rightarrow \angle D = 30^\circ …(ii)$
$\therefore \angle \text{DCB} = \angle D = 30^\circ [(i), (ii)$ से$]$
$\Rightarrow BD = BC [\because$ एक त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं$]$
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