केंद्रों $O$ और $O^\prime$ वाले तथा क्रमशः त्रिज्याओं $3 \ cm$ और $4 \ cm$ वाले दो वृत्त परस्पर बिंदुओं $P$ और $Q$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OP$ और $O^\prime P$ दोनों वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ हैं। उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.4-5
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दिया गया है, $OP$ केंद्र $O^\prime$ वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है।
तो, $\angle OPO^\prime = 90^\circ$
समकोण $\triangle OPO^\prime$ में
$OP = 4 \ cm$
$O^\prime P = 3 \ cm$
पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
$\mathrm{OO}^{\prime 2} = OP^2 + O^\prime P^2$
$= 4^2 + 3^2$
$= 16 + 9 = 25$
$\mathrm{OO}^{\prime 2} = 5 \ cm$
माना $O^\prime T = x ,$ तो $OT = 5 - x$
समकोण $\triangle PTO$ में
पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
$OP^2 = OT^2 + PT^2 $
$\Rightarrow PT^2 = OP^2 - OT^2$
$PT^2 = 4^2 - (5 - x)^2...(i)$
समकोण में $\triangle PTO^\prime$
पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
$O^\prime P^2 = O^\prime T^2 + PT^2$
$\Rightarrow PT^2 = O^\prime P^2 - O^\prime T^2$
$PT^2 = 3^2 - x^2 ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से, हम प्राप्त करते हैं
$3^2 - x^2 = 4^2 - (5 - x)^2$
$9 - x^2 = 16 - 25 - x^2 + 10x$
$18 = 10x$
$\Rightarrow x = \frac{18}{10} = 1.8$
$(ii)$ में $x$ को प्रतिस्थापित कीजिए, हमें प्राप्त होता है
$PT^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
$PT = \sqrt{5.76} = 2.4$
$\Rightarrow PQ = 2 PT$
$= 2 \times 2.4$
$\therefore PQ = 4.8 \ cm$
तो, $\angle OPO^\prime = 90^\circ$
समकोण $\triangle OPO^\prime$ में
$OP = 4 \ cm$
$O^\prime P = 3 \ cm$
पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
$\mathrm{OO}^{\prime 2} = OP^2 + O^\prime P^2$
$= 4^2 + 3^2$
$= 16 + 9 = 25$
$\mathrm{OO}^{\prime 2} = 5 \ cm$
माना $O^\prime T = x ,$ तो $OT = 5 - x$
समकोण $\triangle PTO$ में
पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
$OP^2 = OT^2 + PT^2 $
$\Rightarrow PT^2 = OP^2 - OT^2$
$PT^2 = 4^2 - (5 - x)^2...(i)$
समकोण में $\triangle PTO^\prime$
पाइथागोरस प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं
$O^\prime P^2 = O^\prime T^2 + PT^2$
$\Rightarrow PT^2 = O^\prime P^2 - O^\prime T^2$
$PT^2 = 3^2 - x^2 ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से, हम प्राप्त करते हैं
$3^2 - x^2 = 4^2 - (5 - x)^2$
$9 - x^2 = 16 - 25 - x^2 + 10x$
$18 = 10x$
$\Rightarrow x = \frac{18}{10} = 1.8$
$(ii)$ में $x$ को प्रतिस्थापित कीजिए, हमें प्राप्त होता है
$PT^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
$PT = \sqrt{5.76} = 2.4$
$\Rightarrow PQ = 2 PT$
$= 2 \times 2.4$
$\therefore PQ = 4.8 \ cm$
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