दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x $\geq$ 3, x + y $\geq$ 5, x + 2y $\geq$ 6, y $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x $\geq$ 3, x + y $\geq$ 5, x + 2y $\geq$ 6, y $\geq$ 0
Exercise-12.1-9
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हमको उद्देश्य फलन Z = -x + 2y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x $\geq$ 3 ...(ii)
x + y $\geq$ 5 ...(iii)
x + 2y $\geq$ 6 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 5 का ग्राफ खींचते हैं।
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x $\geq$ 3 ...(ii)
x + y $\geq$ 5 ...(iii)
x + 2y $\geq$ 6 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + y = 5 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 5 |
| y | 5 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 5 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 5 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 5 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + 2y = 6 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 6 |
| y | 3 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 6
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, समीकरण -x + 2y = 1 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | -1 |
| y | $\frac{1}{2}$ | 0 |
(0, 0) असमिका -x + 2y > 1 में रखने पर,
-0 + 2 $\times$ 0 > 1 $\Rightarrow$ 0 > 1 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
चूँकि x $\geq$ 3, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
रेखा x = 3 तथा -x + 2y = 1 पर प्रतिच्छेद बिंदु C(3, 2) तथा रेखा x + 2y = 6 तथा x + y = 5 पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 1) है। स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(6, 0), B(4, 1) तथा C(3, 2) हैं तथा इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = -x + 2y |
| A(6, 0) | -6 |
| B(4, 1) | -2 |
| C(3, 2) | 1 $\leftarrow$ अधिकतम |
चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का अधिकतम मान 1 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है इसके लिए असमिका -x + 2y $\geq$ 1 का ग्राफ खींचते हैं तथा यह परीक्षण करते हैं कि इससे प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नही है। यहाँ, प्राप्त अर्द्धतल तथा सुसंगत क्षेत्र में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, अतः Z = 1 अधिकतम मान नहीं है। अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।
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