एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक के निर्माण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन, तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4 घंटे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर ₹7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर ₹10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अधिकतम हो तथा अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
Exercise-12.2-5
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मान लीजिए निर्माणकर्ता पेंच A के x पैकेट तथा पेंच B के y पैकेट बनाता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| पेंच के प्रकार | पैकेट की संख्या | स्वचालित मशीन पर समय (मिनट में) | हस्तचालित मशीन प समय (मिनट में) | लाभ (₹ में) |
| A | x | 4x | 6x | 7x |
| B | y | 6y | 3y | 10y |
| कुल | x + y | 4x + 6y | 6x + 3y | 7x + 10y |
| उपलब्धता | 4 $\times$ 60 = 240 | 4 $\times$ 60 = 240 |
पेंच A के एक पैकेट पर ₹7 तथा पेंच B के एक पैकेट पर ₹10 का लाभ होता है।
हमको उद्देश्य फलन Z = 7x + 10y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
4x + 6y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y $\leq$ 120 ...(ii)
6x + 3y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\Leftrightarrow$ 80 ...(iii)
तथा x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते है।
| x | 0 | 60 |
| y | 40 | 0 |
(0, 0) असमिका 2x + 3y $\leq$ 120 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 120
$\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा 2x + y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 40 | 0 |
| y | 0 | 80 |
(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 80 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 80 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण 2x + 3y = 120 तथा 2x + y = 80, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(30, 20) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(40, 0), B(30, 20) तथा C(0, 40) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 7x + 10y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(40, 0) | 280 |
| B(30, 20) | 410 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 40) | 400 |
अतः बिंदु B(30, 20) पर 2 का अधिकतम मान ₹410 है। अतः अधिकतम लाभ ₹410 प्राप्त करने के लिए कारखाना पेंच A के 30 पैकेट तथा पेंच B के 20 पैकेट उत्पादित करेगा।
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