किसी निश्चित आधार $b$ के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ $3 \ cm/s$ की दर से घट रहीं है। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
Miscellaneous Exercise-3
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जहाँ $BC$ निश्चित लंबाई $b$ का आधार है। पुनः मान लीजिए कि $\triangle ABC$ की दो बराबर भुजा $x$ हैं
$AD \perp BC$ खींचिए।
अब, $\triangle ADC$ में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,
$AD = \sqrt{x^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}$
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $(A) = \frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई $= \frac{b}{2} \sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}$
$t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर,
$\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} b \times \frac{1}{2} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \times \frac{d x}{d t} = \frac{x b}{\sqrt{4 x^{2}-b^{2}}} \frac{d x}{d t}$
यह दिया गया है कि त्रिभुज की दो बराबर भुजाएँ $3$ सेमी/से की दर से घट रही हैं।
$\therefore \frac{d x}{d t} = - 3$ सेमी/से $($ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि भुजाएँ घट रही हैं$)$
$\therefore \frac{d A}{d t} = \frac{-3 x b}{\sqrt{4 x^{2}-b^{2}}}$ सेमी$^2$ से
जब$ x = b,$ तब $\frac{d A}{d t} = \frac{-3 b^{2}}{\sqrt{3 b^{2}}} = \sqrt{3} b$ सेमी$^2$ / से
अतः त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर है, तब उसका क्षेत्रफल$ \sqrt{3} b$ सेमी$^2$/ से की दर से घट रहा है।
$AD \perp BC$ खींचिए।
अब, $\triangle ADC$ में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,
$AD = \sqrt{x^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}} = \sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}$
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $(A) = \frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई $= \frac{b}{2} \sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}$
$t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल $A$ के परिवर्तन की दर,
$\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} b \times \frac{1}{2} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \times \frac{d x}{d t} = \frac{x b}{\sqrt{4 x^{2}-b^{2}}} \frac{d x}{d t}$
यह दिया गया है कि त्रिभुज की दो बराबर भुजाएँ $3$ सेमी/से की दर से घट रही हैं।
$\therefore \frac{d x}{d t} = - 3$ सेमी/से $($ऋणात्मक चिन्ह दर्शाता है कि भुजाएँ घट रही हैं$)$
$\therefore \frac{d A}{d t} = \frac{-3 x b}{\sqrt{4 x^{2}-b^{2}}}$ सेमी$^2$ से
जब$ x = b,$ तब $\frac{d A}{d t} = \frac{-3 b^{2}}{\sqrt{3 b^{2}}} = \sqrt{3} b$ सेमी$^2$ / से
अतः त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर है, तब उसका क्षेत्रफल$ \sqrt{3} b$ सेमी$^2$/ से की दर से घट रहा है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ होता है।View Solution
- 2पानी की एक टंकी का आकार, उर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लंब वृत्तीय शंकु है जिसका शीर्ष नीचे है। इसका अर्द्ध शीर्ष कोण $\tan^{-1}(0.5)$ है। इसमें $5 m^3 / min$ की दर से पानी भरा जाता है। पानी के स्तर के बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई $10 m$ है।View Solution
- 3आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2 m$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs. 70/m^2$ और दीवारों पर $Rs. 45 /m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?View Solution
- 4$18 \ cm$ भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भजा कितनी होगी जिससे संदक का आयतन उच्चतम हो?View Solution
- 5ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6सिद्ध कीजिए कि एक $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4 r}{3}$ है।View Solution
- 7एक निर्माता ₹$\left(5-\frac{x}{100}\right)$ प्रति इकाई की दर से x इकाइयाँ बेच सकता है। x इकाइयों का उत्पाद मूल्य ₹$ \left(\frac{x}{5}+500\right)$ है। इकाइयों की वह संख्या ज्ञात कीजिए जो उसे अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए बेचनी चाहिए।View Solution
- 8View Solutionसिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
- 9$3 \ cm$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार डिस्क को गर्म किया जाता है। प्रसार के कारण इसकी त्रिज्या $0.05 \ cm/s$ की दर से बढ़ रही है। वह दर ज्ञात कीजिए जिससे इसका क्षेत्रफल बढ़ रहा है जब इसकी त्रिज्या $3.2 \ cm$ है।View Solution
- 10अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 2x^{2 }- 3x$ से प्रदत्त फलन $f$View Solution
- वर्धमान
- ह्रासमान