एक $28 \ cm$ लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
Exercise-6.5-22
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मान लीजिए की तार का टुकड़ा जो वृत्त के आकार में बनाया जाता है उसकी लंबाई $x$ सेमी है। इसलिए दूसरे टुकड़ें की लंबाई जो वर्ग के आकार में बनाया जाता है $(28 - x)$ सेमी होगी। अब, वृत्त की त्रिज्या $= \frac{x}{2\pi}$
$\therefore$ वृत्त का क्षेत्रफल $\pi ($त्रिज्या$)^2= \pi\left(\frac{x}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{4 \pi}$
और वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई $= \frac{28 - x}{4}$
$\therefore$ वर्ग का क्षेत्रफल $= ($भुजा$)^2 = \left(\frac{28-x}{4}\right)^{2} = \frac{(28-x)^{2}}{16}$
पुनः मान लीजिए कि $f(x)$ दोनों आकारों के क्षेत्रफल का योग है। तब,
$f(x) = \frac{x^{2}}{4 \pi} + \frac{(28-x)^{2}}{16} ...(i)$
समी $(i)$ का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर
$f^{\prime}(x) = \frac{2 x}{4 \pi} + \frac{2(28-x)(-1)}{16} = \frac{x}{2 \pi} - \frac{28-x}{8}$
और $f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{2 \pi} - \frac{(-1)}{8} = \frac{1}{2 \pi} + \frac{1}{8}$
अब $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{x}{2 \pi} - \frac{28-x}{8} =0 \Rightarrow 4x - \pi(28 - x) = 0$
$\Rightarrow 4x + \pi x - 28\pi = 0 \Rightarrow x(4 + \pi) = 28 \pi$
$\Rightarrow x = \frac{28 \pi}{4+\pi}$
और $x$ के इस मान के लिए
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{2 \pi} + \frac{1}{8} > 0$
$\therefore f(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $x = \frac{28 \pi}{4+\pi}$ पर प्राप्त होता है।
अतः $(0, 28)$ में सतत् फलन $f$ का एक और केवल एक बिन्दु लगातार $\frac{28 \pi}{4+\pi} \in (0, 28)$ है।
इसलिए $x = \frac{28 \pi}{4+\pi}$ के लिए $f(x)$ निरपेक्ष न्यूनतम मान है।
इसलिए वृत्तीय टुकड़े की लंबाई $\frac{28 \pi}{4+\pi}$ मी है।
और वर्ग के टुकड़े की लंबाई $28 - \frac{28 \pi}{4+\pi} = \frac{112}{4+\pi}$ सेमी है।
$\therefore$ वृत्त का क्षेत्रफल $\pi ($त्रिज्या$)^2= \pi\left(\frac{x}{2 \pi}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{4 \pi}$
और वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई $= \frac{28 - x}{4}$
$\therefore$ वर्ग का क्षेत्रफल $= ($भुजा$)^2 = \left(\frac{28-x}{4}\right)^{2} = \frac{(28-x)^{2}}{16}$
पुनः मान लीजिए कि $f(x)$ दोनों आकारों के क्षेत्रफल का योग है। तब,
$f(x) = \frac{x^{2}}{4 \pi} + \frac{(28-x)^{2}}{16} ...(i)$
समी $(i)$ का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर
$f^{\prime}(x) = \frac{2 x}{4 \pi} + \frac{2(28-x)(-1)}{16} = \frac{x}{2 \pi} - \frac{28-x}{8}$
और $f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{2 \pi} - \frac{(-1)}{8} = \frac{1}{2 \pi} + \frac{1}{8}$
अब $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{x}{2 \pi} - \frac{28-x}{8} =0 \Rightarrow 4x - \pi(28 - x) = 0$
$\Rightarrow 4x + \pi x - 28\pi = 0 \Rightarrow x(4 + \pi) = 28 \pi$
$\Rightarrow x = \frac{28 \pi}{4+\pi}$
और $x$ के इस मान के लिए
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{2 \pi} + \frac{1}{8} > 0$
$\therefore f(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $x = \frac{28 \pi}{4+\pi}$ पर प्राप्त होता है।
अतः $(0, 28)$ में सतत् फलन $f$ का एक और केवल एक बिन्दु लगातार $\frac{28 \pi}{4+\pi} \in (0, 28)$ है।
इसलिए $x = \frac{28 \pi}{4+\pi}$ के लिए $f(x)$ निरपेक्ष न्यूनतम मान है।
इसलिए वृत्तीय टुकड़े की लंबाई $\frac{28 \pi}{4+\pi}$ मी है।
और वर्ग के टुकड़े की लंबाई $28 - \frac{28 \pi}{4+\pi} = \frac{112}{4+\pi}$ सेमी है।
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