सिद्ध कीजिए कि एक शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्रपृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
EXAMPLE-38
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मान लीजिए शंकु के आधार की त्रिज्या $OC = r$ और ऊँचाई $OA = h$ है।
मान लीजिए कि दिए हुए शंकु के अंतर्गत बेलन के आधार के वृत्त की त्रिज्या $OE = x$ है ।
बेलन की ऊँचाई $QE$ के लिए:
$\frac{\mathrm{QE}}{\mathrm{OA}} = \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{OC}} ($क्योंकि $\Delta QEC \sim \Delta AOC)$
या $\frac{\mathrm{QE}}{h} = \frac{r-x}{r}$
या $QE = \frac{h(r-x)}{r}$
मान लीजिए बेलन का वक्रपृष्ठ $S$ है। तब
$S \equiv S(x) = \frac{2 \pi x h(r-x)}{r} = \frac{2 \pi h}{r} (rx - x^2)$
या $\left\{ S^{\prime}(x)=\frac{2 \pi h}{r}(r-2 x) S^{\prime \prime}(x)=\frac{-4 \pi h}{r} \right.$
अब $S^{\prime}(x) = 0$ से $x = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।
क्योंकि सभी $x$ के लिए $S^{\prime \prime}(x) < 0$ है।
अतः $S\ ^{\prime \prime} \left(\frac{r}{2}\right) < 0$ है।
इसलिए $x = \frac{r}{2}, S$ का उच्चतम बिंदु है।
अतः दिए शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्र पृष्ठ के बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
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