अंतराल ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = $ \frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$ से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
Miscellaneous Exercise-6(1)
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दिया है, $f(x) = \frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}$
$= \frac{4 \sin x-x(2+\cos x)}{2+\cos x} = \frac{4 \sin x}{2+\cos x} - \frac{x(2+\cos x)}{2+\cos x} = \frac{4 \sin x}{2+\cos x} - x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = 4 \left\{\frac{(2+\cos x) \cos x-\sin x(0-\sin x)}{(2+\cos x)^{2}}\right\} - 1$
$= 4 \left\{\frac{2 \cos x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{(2+\cos x)^{2}}\right\} - 1 (\because \cos^2 x + \sin^2 x = 1)$
$= \frac{8 \cos x+4}{(2+\cos x)^{2}}-1 = \frac{8 \cos x+4-(2+\cos x)^{2}}{(2+\cos x)^{2}}$
$= \frac{8 \cos x+4-4-\cos ^{2} x-4 \cos x}{(2+\cos x)^{2}} = \frac{4 \cos x-\cos ^{2} x}{(2+\cos x)^{2}}=\frac{\cos x(4-\cos x)}{(2+\cos x)^{2}}$
हम जानते हैं कि $-1 \leq \cos x \leq 1$
$\Rightarrow 4 - \cos x > 0 और (2 + \cos x)^2 > 0$
वर्धमान के लिए
$f'(x) > 0 जब \cos x > 0 (\because$ प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में $\cos x$ धनात्मक है$)$
$\therefore$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ और $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ में $f(x)$ वर्धमान है।
$= \frac{4 \sin x-x(2+\cos x)}{2+\cos x} = \frac{4 \sin x}{2+\cos x} - \frac{x(2+\cos x)}{2+\cos x} = \frac{4 \sin x}{2+\cos x} - x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$f^{\prime}(x) = 4 \left\{\frac{(2+\cos x) \cos x-\sin x(0-\sin x)}{(2+\cos x)^{2}}\right\} - 1$
$= 4 \left\{\frac{2 \cos x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{(2+\cos x)^{2}}\right\} - 1 (\because \cos^2 x + \sin^2 x = 1)$
$= \frac{8 \cos x+4}{(2+\cos x)^{2}}-1 = \frac{8 \cos x+4-(2+\cos x)^{2}}{(2+\cos x)^{2}}$
$= \frac{8 \cos x+4-4-\cos ^{2} x-4 \cos x}{(2+\cos x)^{2}} = \frac{4 \cos x-\cos ^{2} x}{(2+\cos x)^{2}}=\frac{\cos x(4-\cos x)}{(2+\cos x)^{2}}$
हम जानते हैं कि $-1 \leq \cos x \leq 1$
$\Rightarrow 4 - \cos x > 0 और (2 + \cos x)^2 > 0$
वर्धमान के लिए
$f'(x) > 0 जब \cos x > 0 (\because$ प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में $\cos x$ धनात्मक है$)$
$\therefore$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ और $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ में $f(x)$ वर्धमान है।
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