बिंदुओं $(-3, 10)$ और $(6, -8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $(-1, 6)$ किस अनुपात में विभाजित करता है।
Exercise-7.2-4
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माना दिए गए बिन्दुओं के निर्देशांक हैं: $A(-3, 10)$ और $B(6, -8)$
माना बिन्दु $P(-1, 6)$ रेखाखण्ड $AB$ को $m_1 : m_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$\therefore$ विभाजन सूत्र से हमें प्राप्त होता है:
$(-1, 6) = \left(\frac{x_{2} m_{1}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$
$\Rightarrow (-1, 6) = \left(\frac{\left(m_{1} \times 6\right)+\left[m_{2} \times(-3)\right]}{m_{1}+m_{2}}, \frac{\left[m_{1}(-8)\right]+\left(m_{2} \times 10\right)}{m_{1}+m_{2}}\right)$
$\Rightarrow (-1, 6) = \frac{6 m_{1}+\left(-3 m_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
$\Rightarrow -1 = \frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ और $6 = \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
$\Rightarrow -1(m_1 + m_2) = 6m_1 - 3m_2$ और $6(m_1 + m_2) = -8m_1 + 10 m_2$
$\Rightarrow -m_1 - m_2 - 6m_1 + 3m_2 = 0$ और $6m_1 + 6m_2 + 8m_1 - 10m_2 = 0$
$\Rightarrow -7m_1 + 2m_2 = 0$ और $14m_1 - 4m_2 = 0$ या $7m_1 - 2m_2 = 0$
$\Rightarrow 2m_2 = 7m_1$ और $7m_1 = 2m_2$
$\Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}$ और $\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}$
$\Rightarrow m_1 : m_2 = 2 : 7$ और $m_1 : m_2 = 2 : 7$
इस प्रकार अभीष्ठ अनुपात $2 : 7$ है।
माना बिन्दु $P(-1, 6)$ रेखाखण्ड $AB$ को $m_1 : m_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$\therefore$ विभाजन सूत्र से हमें प्राप्त होता है:
$(-1, 6) = \left(\frac{x_{2} m_{1}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$
$\Rightarrow (-1, 6) = \left(\frac{\left(m_{1} \times 6\right)+\left[m_{2} \times(-3)\right]}{m_{1}+m_{2}}, \frac{\left[m_{1}(-8)\right]+\left(m_{2} \times 10\right)}{m_{1}+m_{2}}\right)$
$\Rightarrow (-1, 6) = \frac{6 m_{1}+\left(-3 m_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}}, \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
$\Rightarrow -1 = \frac{6 m_{1}-3 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ और $6 = \frac{-8 m_{1}+10 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
$\Rightarrow -1(m_1 + m_2) = 6m_1 - 3m_2$ और $6(m_1 + m_2) = -8m_1 + 10 m_2$
$\Rightarrow -m_1 - m_2 - 6m_1 + 3m_2 = 0$ और $6m_1 + 6m_2 + 8m_1 - 10m_2 = 0$
$\Rightarrow -7m_1 + 2m_2 = 0$ और $14m_1 - 4m_2 = 0$ या $7m_1 - 2m_2 = 0$
$\Rightarrow 2m_2 = 7m_1$ और $7m_1 = 2m_2$
$\Rightarrow \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}$ और $\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}$
$\Rightarrow m_1 : m_2 = 2 : 7$ और $m_1 : m_2 = 2 : 7$
इस प्रकार अभीष्ठ अनुपात $2 : 7$ है।
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