$BL$ और $CM$ एक समकोण त्रिभुज $\text{ABC}$ की माध्यिकाएँ हैं तथा इस त्रिभुज का कोण $A$ समकोण है। सिद्ध कीजिए कि $4(BL^2 + CM^2) = 5BC^2$
example-13
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$BL$ और $CM$ एक $\triangle ABC$ की माध्यिकाएँ हैं; जिसमें $\angle A = 90^\circ$ है $($आकृति देखिए$)।$
$\triangle ABC$ से
$BC^2 = AB^2 + AC^2 ... ($पाइथागोरस प्रमेय$) ... (i)$
$\triangle ABL$ से
$BL^2 = AL^2 + AB^2$
या $BL^2 = \left(\frac{{AC}}{2}\right)^{2}+{AB}^{2} (AC$ का मध्य$-$बिंदु $L$ है$)$
या $BL^2 = \frac{{AC}^{2}}{4}+{AB}^{2}$
या $4BL^2 = AC^2 + 4AB^2 ... (ii)$
$\triangle CMA$ से
$CM^2 = AC^2 + AM^2$
या $CM^2 = AC^2 +\left(\frac{{AB}}{2}\right)^{2} (AB$ का मध्य बिंदु $M$ है$)$
या ${CM}^{2}={AC}^{2}+\frac{{AB}^{2}}{4}$
या $4CM^2 = 4AC^2 + AB^2 ... (iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
$4(BL^2 + CM^2) = 5(AC^2 + AB^2)$
या $4(BL^2 + CM^2) = 5BC [(i)$ से$]$
$\triangle ABC$ से
$BC^2 = AB^2 + AC^2 ... ($पाइथागोरस प्रमेय$) ... (i)$
$\triangle ABL$ से
$BL^2 = AL^2 + AB^2$
या $BL^2 = \left(\frac{{AC}}{2}\right)^{2}+{AB}^{2} (AC$ का मध्य$-$बिंदु $L$ है$)$
या $BL^2 = \frac{{AC}^{2}}{4}+{AB}^{2}$
या $4BL^2 = AC^2 + 4AB^2 ... (ii)$
$\triangle CMA$ से
$CM^2 = AC^2 + AM^2$
या $CM^2 = AC^2 +\left(\frac{{AB}}{2}\right)^{2} (AB$ का मध्य बिंदु $M$ है$)$
या ${CM}^{2}={AC}^{2}+\frac{{AB}^{2}}{4}$
या $4CM^2 = 4AC^2 + AB^2 ... (iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:
$4(BL^2 + CM^2) = 5(AC^2 + AB^2)$
या $4(BL^2 + CM^2) = 5BC [(i)$ से$]$
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