चार डिब्बों में रगींन गेंदें निम्न सारणी में दर्शाए गए तरह से आंबटित की गई है:
एक डिब्बे को यादृच्छया चुना गया और फिर उसमें से एक गेंद निकाली गई। यदि गेंद का रंग काला है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद को डिब्बा $- III$ से निकाला गया है?
| डिब्बा | रंग | |||
|---|---|---|---|---|
| काला | सफ़ेद | लाल | नीला | |
| $I$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| $II$ | $2$ | $2$ | $2$ | $2$ |
| $III$ | $1$ | $2$ | $3$ | $1$ |
| $IV$ | $4$ | $3$ | $1$ | $5$ |
example-33
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मान लीजिए $A, E_1, E_2, E_3$ और $E_4$ निम्न प्रकार से परिभाषित घटनाएँ हैं:
$A$: एक काली गेंद का निकलना, $E_1$: डिब्बा $- I$ का चुनाव
$E_2$: डिब्बा $- II$ का चुनाव, $E_3$: डिब्बा $- III$ का चुनाव
$E_4$: डिब्बा $- IV$ का चुनाव
क्योंकि डिब्बों को यादृच्छया चुना गया है,
इसलिए $ \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right)$$=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right)$$=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right)$$=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{4}\right)$$=\frac{1}{4}$
साथ ही $\mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{1}\right)$$=\frac{3}{18}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{2}\right)$$=\frac{2}{8}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)$
$=\frac{1}{7}$ और $ \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{4}\right)=\frac{4}{13}$
$P ($डिब्बा $- III$ का चुनाव, जब यह ज्ञात है कि काली गेंद निकाली गई है$)$
$= \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3} \mid \mathrm{A}\right)$ बेज़ $-$ प्रमेय से
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3} \mid \mathrm{A}\right)$ = $ \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right) \cdot \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{4}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{4} \times \frac{3}{18}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}+\frac{1}{4} \times \frac{4}{13}} = 0.165$
$A$: एक काली गेंद का निकलना, $E_1$: डिब्बा $- I$ का चुनाव
$E_2$: डिब्बा $- II$ का चुनाव, $E_3$: डिब्बा $- III$ का चुनाव
$E_4$: डिब्बा $- IV$ का चुनाव
क्योंकि डिब्बों को यादृच्छया चुना गया है,
इसलिए $ \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right)$$=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right)$$=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right)$$=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{4}\right)$$=\frac{1}{4}$
साथ ही $\mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{1}\right)$$=\frac{3}{18}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{2}\right)$$=\frac{2}{8}, \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)$
$=\frac{1}{7}$ और $ \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{4}\right)=\frac{4}{13}$
$P ($डिब्बा $- III$ का चुनाव, जब यह ज्ञात है कि काली गेंद निकाली गई है$)$
$= \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3} \mid \mathrm{A}\right)$ बेज़ $-$ प्रमेय से
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3} \mid \mathrm{A}\right)$ = $ \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right) \cdot \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{4}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}}{\frac{1}{4} \times \frac{3}{18}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{1}{7}+\frac{1}{4} \times \frac{4}{13}} = 0.165$
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