किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच $99\%$ असरदार है। जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु $0.5\%$ बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में $0.1\%$ लोग उस रोग से ग्रस्त है, तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा। यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
Exercise-13.3-5
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मान लीजिए $E_1$ घटना 'व्यक्ति के रोगी होने को' तथा $E_2$ घटना 'व्यक्ति के स्वस्थ होने को निरूपित करता है।
अतः घटनाएँ $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं।
$P\left(E_{1}\right) = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$ तथा $P\left(E_{2}\right) = 1 - 0.001 = 0.999$
मान लीजिए घटना $E$ 'जाँच सही है' को निरूपित करता है।
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P ($व्यक्ति के रोगी होने की जाँच सही है$)$
$= 99\% = \frac{99}{100} = 0.99$
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($व्यक्ति के रोगी न होने पर भी जाँच सही होने की प्रायिकता$)$
$= 0.5\% = \frac{0.5}{100} = 0.005$
बेज प्रमेय के प्रयोग से, $P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$ = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$= \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99+0.999 \times 0.005}$
$=\frac{0.00099}{0.00099+0.004995}$
$= \frac{0.00099}{0.005985}$
$= \frac{990}{5985}$
$=\frac{110}{665}$
$= \frac{22}{133}$
अतः घटनाएँ $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं।
$P\left(E_{1}\right) = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$ तथा $P\left(E_{2}\right) = 1 - 0.001 = 0.999$
मान लीजिए घटना $E$ 'जाँच सही है' को निरूपित करता है।
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P ($व्यक्ति के रोगी होने की जाँच सही है$)$
$= 99\% = \frac{99}{100} = 0.99$
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($व्यक्ति के रोगी न होने पर भी जाँच सही होने की प्रायिकता$)$
$= 0.5\% = \frac{0.5}{100} = 0.005$
बेज प्रमेय के प्रयोग से, $P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$ = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$= \frac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99+0.999 \times 0.005}$
$=\frac{0.00099}{0.00099+0.004995}$
$= \frac{0.00099}{0.005985}$
$= \frac{990}{5985}$
$=\frac{110}{665}$
$= \frac{22}{133}$
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