एक प्रकार के केक को 200 ग्राम आटा तथा 25 ग्राम वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 ग्राम आटा तथा 50 ग्राम वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।
Exercise-12.2-2
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मान लीजिए एक प्रकार के केकों की संख्या x है, जबकि दूसरे प्रकार के केकों की संख्या y है।
| प्रकार | केकों की संख्या | आवश्यक आटा (ग्राम में) | आवश्यक वसा (ग्राम में) |
| I | x | 200x | 25x |
| II | y | 100y | 50y |
| कुल | x + y | 200x + 100y | 25x + 50y |
| आवश्यकता | 5000 | 1000 |
हमको उद्देश्य फलन Z = x + y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
200x + 100y $\leq$ 5000 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\leq$ 50 ...(ii)
25x + 50y $\leq$ 1000
$\Leftrightarrow$ x + 2y $\leq$ 40 ...(iii)
तथा x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 50 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 25 |
| y | 50 | 0 |
(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 50 में रखने पर, 2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 50 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 50 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x + 2y = 40 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 40 |
| y | 20 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 40 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 40 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 40 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण 2x + y = 50
तथा x + 2y = 40 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 10) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(25, 0), B(20, 10) तथा C(0, 20) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = x + y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(25, 0) | 25 |
| B(20, 10) | 30 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 20) | 20 |
कुल केकों की संख्या 30 है, जहाँ 20 एक प्रकार के तथा 10 दूसरे प्रकार के केक हैं।
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