सिद्ध किजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
Exercise-6.5-20
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मान लीजिए कि $r$ और $h$ बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई हैं। तब, बेलन का पृष्ठ क्षेत्रफल
$S = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r h \ ($दिया है$)$
$\Rightarrow 2\pi r = S - 2 \pi r^{2}$
$ \Rightarrow h = \frac{S-2 \pi r^{2}}{2 \pi r} ...(i)$
और $V = \pi r^{2} h ...(ii)$
समी $(i)$ से $h$ का मान समी $(ii)$ में रखने पर,
$V = \pi r^{2}\left(\frac{S-2 \pi r^{2}}{2 \pi r}\right) = \frac{S r}{2}-\pi r^{3} ...(iii)$
$r$ के सापेक्ष समी $(iii)$ का अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d r} = \frac{S}{2}-3 \pi r^{2}$
अब उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d V}{d r} = 0$ रखने पर
$\Rightarrow \frac{S}{2}-3 \pi r^{2} = 0$
$\Rightarrow S = 6 \pi r^{2}$
$\Rightarrow r^{2 }= \frac{S}{6 \pi} ...(iv)$
अब, $\frac{d^{2} V}{d r^{2}} = - 6 \pi r$
$r^{2 }= \frac{S}{6 \pi} $पर, $\left(\frac{d^{2} V}{d r^{2}}\right)_{r=\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}} = - 6 \pi \left(\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\right) < 0$
द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा, जब $r^{2 }= \frac{S}{6 \pi}$ होगा, तो आयतन उच्चतम होगा। जब
$r^{2 }= \frac{S}{6 \pi} $
$\Rightarrow S = 6 \pi r^{2}$
तब, $h = \frac{6 \pi r^{2}}{2 \pi}\left(\frac{1}{r}\right) - r = 3r - r = 2r$
इसलिए, जब ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होगी, तो आयतन उच्चतम होगा।
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