पासों के एक जोड़े को तीन बार उछालने पर द्विकों (doublets) की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
example-25
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मान लीजिए कि X द्विकों की संख्या निरूपित करता है।
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) और (6, 6) संभव द्विक हैं।
स्पष्ट है कि X का मान 0, 1, 2, या 3 है।
एक द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता = $ \frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$
एक द्विक प्राप्त न होने की प्रायिकता = 1 - $ \frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$
P(X = 0) = P( एक भी द्विक नहीं) = $ \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}$ = $\frac{125}{216}$
P(X = 1) = P(एक द्विक और दो द्विक नहीं) = $ \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} $$\times \frac{5}{6}+$$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} $$\times \frac{5}{6}+\frac{5}{6}$$ \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$ = $3\left(\frac{1}{6} \times \frac{5^{2}}{6^{2}}\right)$= $\frac{75}{216}$
P(X = 2) = P(दो द्विक और एक द्विक नहीं)
= $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$$ \times \frac{5}{6}+\frac{1}{6}$$ \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$$\times \frac{1}{6}$
= 3$\left(\frac{1}{6^{2}} \times \frac{5}{6}\right)$=$\frac{15}{216}$
P(X = 3) = P(तीन द्विक) = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$$ \times \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{216}$
X का अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नलिखित हैं:
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) और (6, 6) संभव द्विक हैं।
स्पष्ट है कि X का मान 0, 1, 2, या 3 है।
एक द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता = $ \frac{6}{36}$ = $\frac{1}{6}$
एक द्विक प्राप्त न होने की प्रायिकता = 1 - $ \frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$
P(X = 0) = P( एक भी द्विक नहीं) = $ \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}$ = $\frac{125}{216}$
P(X = 1) = P(एक द्विक और दो द्विक नहीं) = $ \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} $$\times \frac{5}{6}+$$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} $$\times \frac{5}{6}+\frac{5}{6}$$ \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$ = $3\left(\frac{1}{6} \times \frac{5^{2}}{6^{2}}\right)$= $\frac{75}{216}$
P(X = 2) = P(दो द्विक और एक द्विक नहीं)
= $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$$ \times \frac{5}{6}+\frac{1}{6}$$ \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$$\times \frac{1}{6}$
= 3$\left(\frac{1}{6^{2}} \times \frac{5}{6}\right)$=$\frac{15}{216}$
P(X = 3) = P(तीन द्विक) = $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$$ \times \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{216}$
X का अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नलिखित हैं:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X) | $\frac{125}{216}$ | $\frac{75}{216}$ | $\frac{15}{216}$ | $\frac{1}{216}$ |
सत्यापन प्रायिकताओं का योग
$\sum \limits_{i-1}^{n} p_{i}$ =$ \frac{125}{216}+\frac{75}{216}$$+\frac{15}{216}+\frac{1}{216}$
= $\frac{125+75+15+1}{216}$ = $\frac{216}{216}$ = 1
अतः उपरोक्त प्रायिकता बंटन सही है।
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