एक बीमा कंपनी $2000$ स्कूटर चालकों, $4000$ कार चालकों और $6000$ ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः $0.01, 0.03$ और $0.15$ है। बीमाकृत व्यक्तियों $($चालकों$)$ में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
Exercise-13.3-7
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दिया है, स्कूटर चालकों की संख्या $= 2000,$ कार चालकों की संख्या $= 400$ तथा ट्रक चालकों की संख्या $= 6000$
अतः कुल चालकों की संख्या $= 2000 + 4000 + 6000 = 12000$
मान लीजिए $E_1$ घटना ' बीमाकृत व्यक्ति एक स्कूटर चालक है', $E_2$ घटना 'बीमाकृत व्यक्ति एक कार चालक है' तथा $E_3$ घटना 'बीमाकृत व्यक्ति एक ट्रक चालक है' को निरूपित करता है। अतः $E_1, E_2$ तथा $E_3$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ है।
और $P \left(E_{1}\right) =$
$= \frac{2000}{12000}$$=\frac{1}{6}$
$P(E_2) =$
$= \frac{4000}{12000}$$=\frac{1}{3}$
और
$P(E_3) =$
$= \frac{6000}{12000}$ = $\frac{1}{2}$
मान लीजिए घटना $E$ 'बीमाकृत व्यक्ति में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है' को निरूपित करता है। $P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P($दुर्घटनाग्रस्त चालक एक स्कूटर चालक है$)$
$= 0.01 = \frac{1}{100}$
$P \left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($दुर्घटनाग्रस्त चालक एक कार चालक है$) = 0.03 = \frac{3}{100}$
$P \left(\frac{E}{E_{3}}\right)= P($दुर्घटनाग्रस्त चालक एक ट्रक चालक है$) = 0.15 = \frac{15}{100}$
मान लीजिए P$\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$ बीमाकृत चालकों में एक, जो दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है, के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता है।
बेज प्रमेय के प्रयोग से, $P \left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}+\frac{1}{3} \times \frac{3}{100}+\frac{1}{2} \times \frac{15}{100}}$
$= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+1+\frac{15}{2}}$
$= \frac{1}{1+6+45}$ = $\frac{1}{52}$
अतः कुल चालकों की संख्या $= 2000 + 4000 + 6000 = 12000$
मान लीजिए $E_1$ घटना ' बीमाकृत व्यक्ति एक स्कूटर चालक है', $E_2$ घटना 'बीमाकृत व्यक्ति एक कार चालक है' तथा $E_3$ घटना 'बीमाकृत व्यक्ति एक ट्रक चालक है' को निरूपित करता है। अतः $E_1, E_2$ तथा $E_3$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ है।
और $P \left(E_{1}\right) =$
$= \frac{2000}{12000}$$=\frac{1}{6}$$P(E_2) =$
$= \frac{4000}{12000}$$=\frac{1}{3}$और
$P(E_3) =$
$= \frac{6000}{12000}$ = $\frac{1}{2}$मान लीजिए घटना $E$ 'बीमाकृत व्यक्ति में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है' को निरूपित करता है। $P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P($दुर्घटनाग्रस्त चालक एक स्कूटर चालक है$)$
$= 0.01 = \frac{1}{100}$
$P \left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($दुर्घटनाग्रस्त चालक एक कार चालक है$) = 0.03 = \frac{3}{100}$
$P \left(\frac{E}{E_{3}}\right)= P($दुर्घटनाग्रस्त चालक एक ट्रक चालक है$) = 0.15 = \frac{15}{100}$
मान लीजिए P$\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$ बीमाकृत चालकों में एक, जो दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है, के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता है।
बेज प्रमेय के प्रयोग से, $P \left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}}{\frac{1}{6} \times \frac{1}{100}+\frac{1}{3} \times \frac{3}{100}+\frac{1}{2} \times \frac{15}{100}}$
$= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+1+\frac{15}{2}}$
$= \frac{1}{1+6+45}$ = $\frac{1}{52}$
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