दो ठोस शंकुओं को एक बेलनाकार नली में आकृति में दर्शाए अनुसार रखा जाता है। इनकी धारिताओं का अनुपात $2:1$ है। इन शंकुओं की ऊँचाइयाँ और धारिताएँ ज्ञात कीजिए। बेलन के शेष भाग का आयतन भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-12.3-8
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माना शंकु $1$ की ऊंचाई $'h\ ' \ cm$ है और शंकु $2$ की ऊंचाई $(21 \ cm - h)$ है। शंकु की मात्रा के रूप में $c_1$ और $c_2$ का अनुपात $2:1$ है, उनके त्रिज्या के लिए $r = \frac 62\ cm$ एक ही बराबर हैं $= 3 \ cm$
$\therefore \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1}}{\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}}$
$\Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{h}{21 c m-h}$
या $42 \ cm - 2 h = h$
या, $3 h = 42 \ cm$
$\Rightarrow h = \frac {42}3$
$\Rightarrow h = 14 \ cm$
इसलिए, पहले शंकु की ऊंचाई $= 14\ cm$ और दूसरे शंकु की ऊंचाई $= 7 \ cm$
पहले शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 14 = 132\ cm^3$
दूसरे शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 7 = 22 \times 3 = 66\ cm^3$
ट्यूब के शेष भाग का आयतन $=$ सिलेंडर का आयतन $-$ पहले शंकु का आयतन $-$ दूसरे शंकु का आयतन
$= \pi r^2h - 132 - 66$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 21 - 198$
$= 22 \times 27 - 198 = 594 - 198 = 396 cm^3$
इसलिए, अभीष्ट आयतन $396 \ cm^3$ है।
$\therefore \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3} \pi r_{1}^{2} h_{1}}{\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}}$
$\Rightarrow \frac{2}{1}=\frac{h}{21 c m-h}$
या $42 \ cm - 2 h = h$
या, $3 h = 42 \ cm$
$\Rightarrow h = \frac {42}3$
$\Rightarrow h = 14 \ cm$
इसलिए, पहले शंकु की ऊंचाई $= 14\ cm$ और दूसरे शंकु की ऊंचाई $= 7 \ cm$
| पहला शंकु | दूसरा शंकु | सिलेंडर |
| $r_1 = \frac 63 = 3 \ cm$ | $r_2 = 3 \ cm$ | $r = 3 \ cm$ |
| $h_1 = 14 \ cm$ | $h_2 = 7 \ cm$ | $h = 21 \ cm$ |
दूसरे शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h_{2}=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 7 = 22 \times 3 = 66\ cm^3$
ट्यूब के शेष भाग का आयतन $=$ सिलेंडर का आयतन $-$ पहले शंकु का आयतन $-$ दूसरे शंकु का आयतन
$= \pi r^2h - 132 - 66$
$= \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 21 - 198$
$= 22 \times 27 - 198 = 594 - 198 = 396 cm^3$
इसलिए, अभीष्ट आयतन $396 \ cm^3$ है।
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