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यदि एक न्याय्य सिक्के को 10 बार उछाला गया तो निम्न की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
  1. ठीक छः चित
  2. न्यूनतम छः चित
  3. अधिकतम छः चित
example-31
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एक सिक्के को बारबार उछालना बरनौली परीक्षण होते हैं। 10 परीक्षणों में चितों की संख्या को X मान लीजिए।
स्पष्टतया X बंटन n = 10 और p = $ \frac{1}{2}$ वाला द्विपद बंटन है।
इसलिए  $\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)$ = $ { }^{n} \mathrm{C}_{x} q^{n-x} p^{x}$
यहाँ n = 10, p = $ \frac{1}{2}$, q = 1 - p = $ \frac{1}{2}$
इसलिए P(X = x) = ${ }^{10} \mathrm{C}_{x}\left(\frac{1}{2}\right)^{10-x}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ = ${ }^{10} \mathrm{C}_{x}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
अब
  1. P (ठीक छः चित) $\mathrm{P}(\mathrm{X}=6)$ = $ { }^{10} \mathrm{C}_{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$ = $\frac{10 !}{6 ! \times 4 !} \frac{1}{2^{10}}$ = $\frac{105}{512}$ 
  2. P (न्यूनतम छः चित) = $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 6)$
    = $ \mathrm{P}(\mathrm{X}=6)$$+\mathrm{P}(\mathrm{X}=7)$$+\mathrm{P}(\mathrm{X}=8)$$+\mathrm{P}(\mathrm{X}=9)$$+\mathrm{P}(\mathrm{X}=10)$
    = $ { }^{10} \mathrm{C}_{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$ $+{ }^{10} \mathrm{C}_{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} \mathrm{C}_{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} \mathrm{C}_{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} \mathrm{C}_{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
    = $ \left(\frac{10 !}{6 !}\right)+\left(\frac{10 !}{7 ! \times 3 !}\right)$$+\left(\frac{10 !}{8 ! \times 2 !}\right)+\left(\frac{10 !}{9 ! \times 1 !}\right)$$+\left(\frac{10 !}{10 !}\right) \frac{1}{2^{10}}$$=\frac{193}{512}$
  3. P (अधिकतम छः चित) = $ \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 6)$
    = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
    = $ \left(\frac{1}{2}\right)^{10}+{ }^{10} C_{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} C_{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$ $+{ }^{10} C_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} C_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} C_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$+{ }^{10} C_{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
    = $ \frac{848}{1024}$ = $\frac{53}{64}$
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