एक $32 \ cm$ ऊँचाई और $18 \ cm$ आधार त्रिज्या वाली बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली कर लिया जाता है जिससे रेत की शंकु के आकार की एक ढेरी बनायी जाती है। यदि शंकु के आकार की इस ढेरी की ऊँचाई $24 \ cm$ है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Exercise-12.4-13
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बेलनाकार बाल्टी के लिए आधार की त्रिज्या $(r) = 18 \ cm$
ऊँचाई$ (h) = 32 \ cm$
$\therefore$ आयतन $= \pi r^{2}h = \pi(18)^{2}(32)$
$= 10368 \pi \ cm^3$
शंक्वाकार ढेर के लिए ऊँचाई $(H) = 24 \ cm$
माना त्रिज्या $R$ हो
तो आयतन $= \frac{1}{3} \pi R^{2}H = \frac{1}{3} \pi R^{2}(24)$
$= 8\pi \text{R}^{2} \ cm^3$
प्रश्न के अनुसार,
$8\pi \text{R}^{2} = 10368 \pi$
$\Rightarrow 8R^{2 }= 10368 \Rightarrow R^{2 }= \frac{10368}{8}$
$\Rightarrow R^{2 }= 1296 R = \sqrt{1296} \Rightarrow R = 36$
अत: ढेर की त्रिज्या $36 \ cm$ है,
फिर से तिरछी ऊँचाई $(L) = \sqrt{R^{2}+H^{2}}$
$= \sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}=\sqrt{1296+576}$
$= \sqrt{1872}=\sqrt{12 \times 12 \times 13}=12 \sqrt{13}$
अत: ढेर की तिर्यक ऊँचाई है $12\sqrt{13} \ cm$
ऊँचाई$ (h) = 32 \ cm$
$\therefore$ आयतन $= \pi r^{2}h = \pi(18)^{2}(32)$
$= 10368 \pi \ cm^3$
शंक्वाकार ढेर के लिए ऊँचाई $(H) = 24 \ cm$
माना त्रिज्या $R$ हो
तो आयतन $= \frac{1}{3} \pi R^{2}H = \frac{1}{3} \pi R^{2}(24)$
$= 8\pi \text{R}^{2} \ cm^3$
प्रश्न के अनुसार,
$8\pi \text{R}^{2} = 10368 \pi$
$\Rightarrow 8R^{2 }= 10368 \Rightarrow R^{2 }= \frac{10368}{8}$
$\Rightarrow R^{2 }= 1296 R = \sqrt{1296} \Rightarrow R = 36$
अत: ढेर की त्रिज्या $36 \ cm$ है,
फिर से तिरछी ऊँचाई $(L) = \sqrt{R^{2}+H^{2}}$
$= \sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}=\sqrt{1296+576}$
$= \sqrt{1872}=\sqrt{12 \times 12 \times 13}=12 \sqrt{13}$
अत: ढेर की तिर्यक ऊँचाई है $12\sqrt{13} \ cm$
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