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ऊँचाई $120 \ cm$ और त्रिज्या $60 \ cm$ वाला एक ठोस लंब वृत्तीय शंकु $180 \ cm$ ऊँचाई वाले पानी से पूरे भरे एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार रखा जाता है कि यह उसकी तली को स्पर्श करें। बेलन में बचे हुए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के बराबर है।
Exercise-12.4-17
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  1. जब भी हम एक ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु को पानी से भरे लम्ब वृत्तीय बेलन, बेलन में रखते हैं, तो एक ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन, बेलन से भरे पानी के आयतन के बराबर होता है।
  2. एक सिलेंडर में पानी का कुल आयतन सिलेंडर के आयतन के बराबर होता है।
  3. बेलन में बचे पानी का आयतन $=$ लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन $-$ एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन।

  4. $($वृत्तीय शंकु$)$

    $($वृत्तीय बेलन$)$
  5. अब, दिया गया है कि
    एक लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई $= 120 \ cm$
    एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या $= 60 \ cm$
    $\therefore$ एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन $= \left(\frac{1}{3}\right) \pi r^{2} \times h$
    $= \left(\frac{1}{3}\right) \times\left(\frac{22}{7}\right) \times 60 \times 60 \times 120$
    $= \left(\frac{22}{7}\right) \times 20 \times 60 \times120$
    $= 14000 \pi cm^3$
    $\therefore$ एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन $=$ बेलन से गिराए गए पानी का आयतन $= 144000 \pi cm^3 [$ बिंदु $(i)$ से$]$
    दिया गया है कि एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई $= 180 \ cm$
    और एक लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या $=$ एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या $= 60 \ cm$
    $\therefore$ एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन $= \pi r^2 \times h$
    $= \pi \times 60 \times 60 \times 180 = 648000 \pi \ cm^3$
    अतः, एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन $=$ एक बेलन में पानी का कुल आयतन $= 648000 \pi \ cm^3 [$ बिंदु $(ii)$ से $]$ बिंदु $(iii)$ से,
    बेलन में बचे पानी का आयतन $=$ एक बेलन में पानी का कुल आयतन $-$ ठोस शंकु रखने पर बेलन से गिराए गए पानी का आयतन
    $= 648000 \pi - 144000 pi$
    $= 504000 \pi = 504000 \times\left(\frac{22}{7}\right)$
    $= 1584000 \ cm^3$
    $= \left(\frac{1584000}{(10)6}\right) m^{3 }= 1.584 m^3$
    अत: बेलन में बचे हुए पानी की आवश्यक मात्रा $1.584 m^3$ है।
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