एक भवन इस आकार का है जैसे कि एक बेलन के ऊपर अर्धगोलाकार गुंबज बनी हो $($देखिए आकृति$)$। गुंबज के आधार का व्यास भवन की संपूर्ण ऊँचाई का $\frac{2}{3}$ है। इस भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, यदि इसके अंदर $67\frac{1}{21} m^3$ वायु है।
example-12.4-3
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मान लीजिए कि अर्धगोलाकार गुंबज की त्रिज्या $r$ मीटर है तथा भवन की संपूर्ण ऊँचाई $h$ मीटर है।
क्योंकि गुंबज का आधार व्यास भवन की संपूर्ण ऊँचाई का $\frac{2}{3}$ है, इसलिए $2r = \frac{2}{3}h$ है।
इससे $r = \frac{h}{3}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए कि बेलनाकार भाग की ऊँचाई $H$ मीटर है।
अतः, $H = h - \frac{h}{3}=\frac{2}{3}h$ मीटर।
भवन के अंदर की वायु का आयतन $=$ गुंबज के अंदर की वायु $+$ बेलन के अंदर की वायु
$= \frac{2}{3} \pi r^{3}+\pi r^{2}H,$ जहाँ $H$ बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।
$= \frac{2}{3} \pi \frac{h}{3}^{3}+\pi \frac{h}{3}^{2}, \frac{2}{3} h=\frac{8}{81} \pi h^{3}$ घन मीटर
भवन के अंदर की वायु का आयतन $67\frac{1}{21}m^3$ है।
अतः, $\frac{8}{81} \pi h^{3}=\frac{1408}{21}$ है। इससे $h = 6$ m प्राप्त होता है।
क्योंकि गुंबज का आधार व्यास भवन की संपूर्ण ऊँचाई का $\frac{2}{3}$ है, इसलिए $2r = \frac{2}{3}h$ है।
इससे $r = \frac{h}{3}$ प्राप्त होता है। मान लीजिए कि बेलनाकार भाग की ऊँचाई $H$ मीटर है।
अतः, $H = h - \frac{h}{3}=\frac{2}{3}h$ मीटर।
भवन के अंदर की वायु का आयतन $=$ गुंबज के अंदर की वायु $+$ बेलन के अंदर की वायु
$= \frac{2}{3} \pi r^{3}+\pi r^{2}H,$ जहाँ $H$ बेलनाकार भाग की ऊँचाई है।
$= \frac{2}{3} \pi \frac{h}{3}^{3}+\pi \frac{h}{3}^{2}, \frac{2}{3} h=\frac{8}{81} \pi h^{3}$ घन मीटर
भवन के अंदर की वायु का आयतन $67\frac{1}{21}m^3$ है।
अतः, $\frac{8}{81} \pi h^{3}=\frac{1408}{21}$ है। इससे $h = 6$ m प्राप्त होता है।
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