सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय $A $में, $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}\right): \mathrm{P}_{1}\right.$तथा $P_2$ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। $3, 4,$ और $5$ लंबाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय $A$ के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Exercise-1.1-13
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दिया है,$ A =$ समस्त बहुभुजों का समुच्चय
तथा $R = {(P_1, P_2); P_1}$ तथा $P_2$ की भजाओं की संख्या समान हैं}
स्पष्ट है कि $(P, P) \in R, \forall P\in A$ क्योंकि प्रत्येक बहुभुज $P$ में भुजाओं की संख्या, बहुभुज $P$ की भुजाओं की संख्या के बराबर है। अतः $R,$ स्वतुल्य संबंध है।
अब, मान लीजिए $(P_1, P_2) \in R \Rightarrow$ बहुभुज $P_1$ तथा $P_2$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow$ बहुभुज $P_2$ तथा $P_1$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow (P_2, P_1) \in R$
$\Rightarrow R,$ एक सममित संबंध है। पुनः मान लीजिए $(P_1, P_2), (P_2, P_3) \in R$
$\Rightarrow$ बहुभुज $P_1$ तथा $P_2$ में भुजाओं की संख्या समान हैं। $P_2$ तथा $P_3$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow P_1$ तथा $P_3$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow (P_1, P_3) \in R$
$\Rightarrow R,$ एक संक्रमक संबंध है। अतः $R,$ एक तुल्यता संबंध है।
अब, भुजाओं $3, 4$ तथा $5$ वाले समकोण त्रिभुज से वह बहुभुज संबंधित होगा। जिसमें भुजाओं की संख्या तीन होगी। अतः भुजाओं $3, 4$ तथा $5$ वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित बहुभुज, त्रिभुज है।
तथा $R = {(P_1, P_2); P_1}$ तथा $P_2$ की भजाओं की संख्या समान हैं}
स्पष्ट है कि $(P, P) \in R, \forall P\in A$ क्योंकि प्रत्येक बहुभुज $P$ में भुजाओं की संख्या, बहुभुज $P$ की भुजाओं की संख्या के बराबर है। अतः $R,$ स्वतुल्य संबंध है।
अब, मान लीजिए $(P_1, P_2) \in R \Rightarrow$ बहुभुज $P_1$ तथा $P_2$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow$ बहुभुज $P_2$ तथा $P_1$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow (P_2, P_1) \in R$
$\Rightarrow R,$ एक सममित संबंध है। पुनः मान लीजिए $(P_1, P_2), (P_2, P_3) \in R$
$\Rightarrow$ बहुभुज $P_1$ तथा $P_2$ में भुजाओं की संख्या समान हैं। $P_2$ तथा $P_3$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow P_1$ तथा $P_3$ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
$\Rightarrow (P_1, P_3) \in R$
$\Rightarrow R,$ एक संक्रमक संबंध है। अतः $R,$ एक तुल्यता संबंध है।
अब, भुजाओं $3, 4$ तथा $5$ वाले समकोण त्रिभुज से वह बहुभुज संबंधित होगा। जिसमें भुजाओं की संख्या तीन होगी। अतः भुजाओं $3, 4$ तथा $5$ वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित बहुभुज, त्रिभुज है।
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