सिद्ध किजिए कि समुच्चय $\mathrm{A}=\{x \in \mathbf{Z}: 0 \leq x \leq 12\}$, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
- R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है},
- R = {(a, b) : a = b},
प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
Exercise-1.1-9
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$A=\{x \in Z: 0 \leq x<12\}$
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
- R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है}
चूँकि प्रत्येक a $\in A$ के लिए |a - a| = 0, जोकि 4 का गुणज है। अतः R स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए
(a, b) $\in R \Rightarrow|a-b|$, 4 का गुणज' है।
$\Rightarrow|$-(b - a)|, 4 का गुणज है।
$\Rightarrow|$|b - a|, 4 का गुणज है।
$\Rightarrow|$(b, a) $\in R$,$ \forall $a, b $\in R$
अतः R सममित संबंध है। अब, मान लीजिए (a, b); (b, c) $\in R$, तब |a - c| तथा |b - c| 4 के गुणज हैं। |a - c|, 4 का गुणज है। $\Rightarrow|$(a, c) $\in R$
$\therefore R$ संक्रमक संबंध है। अतः R, एक तुल्यता संबंध है।
अब चूँकि |1 - 1| = 0, जोकि 4 का गुणज है।
|5 - 1| = 4, जोकि 4 का गुणज है।
|9 - 1| = 8, जोकि 4 का गुणज है।
$\therefore 1$ से संबंधित अवयव 1, 5, 9 हैं।
$\therefore [1]=\{1,5,9\}$ - $R=\{(a, b): a=b\}$
चूँकि प्रत्येक a $\in A$ के लिए a = a है। अतः (a, a) $\in R, \forall a \in A \therefore A$ स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए (a, b$\in R \Rightarrow a=b \Rightarrow b=a \Rightarrow(b, a) \in R$, अतः R सममित संबंध है।
पुनः मान लीजिए
$(a, b),(b, c) \in R$
$\Rightarrow a=b$ तथा b = c
$\Rightarrow a=c$
$(a, c) \in R$
अतः, R, एक संक्रमक संबंध है। इसलिए R, एक तुल्यता संबंध है।
अब, चूँकि 1 = 1, इसलिए R द्वारा 1 से संबंधित अवयव केवल 1 है।
अतः [1] = 1
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