मान लीजिए कि समस्त $n \in \mathbf{N} $ के लिए 
द्वारा परिभाषित एक फलन f: $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
द्वारा परिभाषित एक फलन f: $\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी (bijective) है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Exercise-1.2-9
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फलन f: $N \rightarrow N $ में, 
द्वारा परिभाषित फलन है।
चूँकि $ f(1)=\frac{1+1}{2}=1 $
तथा $f(2)=\frac{2}{2}=1 \therefore f(1)=f(2)=1$ लेकिन $1 \neq 2$
$\therefore$ f एकेकी फलन नहीं है। मान लीजिए $n \in N$
दशा। जब n विषम हो।
अतः $n=2 r+1, r \in N$
तब, $4 r+1 \in N$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(4 r+1)=\frac{4 r+1+1}{2}=2 r+1$
$\therefore f$ आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
दशा II जब n सम हो, तो n = 2r तो 4r$ \in N$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(4 r)=\frac{4 r}{2}=2 r$
$\therefore$ f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
द्वारा परिभाषित फलन है।
चूँकि $ f(1)=\frac{1+1}{2}=1 $
तथा $f(2)=\frac{2}{2}=1 \therefore f(1)=f(2)=1$ लेकिन $1 \neq 2$
$\therefore$ f एकेकी फलन नहीं है। मान लीजिए $n \in N$
दशा। जब n विषम हो।
अतः $n=2 r+1, r \in N$
तब, $4 r+1 \in N$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(4 r+1)=\frac{4 r+1+1}{2}=2 r+1$
$\therefore f$ आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
दशा II जब n सम हो, तो n = 2r तो 4r$ \in N$ इस प्रकार विद्यमान है कि
$f(4 r)=\frac{4 r}{2}=2 r$
$\therefore$ f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
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