मान लीजिए कि $\mathrm{A}=\mathbf{R}-\{3\}$ तथा $\mathrm{B}=\mathbf{R}-\{1\}$ हैं। $f(x)=\left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Exercise-1.2-10
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दिया है, A = R - {3}
तथा B = R - {1}
अब, f: $A \rightarrow B$ में, $f(x)=\frac{x-2}{x-3}$ द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए x, y $\in $ A इस प्रकार है कि f(x) = f(y)
$\Rightarrow$ $\frac{x-2}{x-3}=\frac{y-2}{y-3} \Rightarrow$ (x - 2)(y - 3) = (y - 2)(x - 3)
$\Rightarrow $ $ x y-3 x-2 y+6=x y-3 y-2 x+6$
$\Rightarrow $ $-3 x-2 y=-3 y-2 x \Rightarrow 3 x-2 x=3 y-2 y$
$\Rightarrow $ x = y
$\therefore$ f एकैकी फलन है।
मान लीजिए $y \in B=R-\{1\} \therefore y \neq-1$
तब, f आच्छादक फलन होगा, यदि x $\in$ A इस प्रकार विद्यमान हो कि f(x) = y
$\Rightarrow $ $\frac{x-2}{x-3}=y \Rightarrow x-2=x y-3 y$
$\Rightarrow $ $x(1-y)=-3 y+2$
$\Rightarrow $ $x=\frac{2-3 y}{1-y} \in A$ $(y \neq 1)$
अतः प्रत्येक $y \in B$ के लिए $x=\frac{2-3 y}{1-y} \in A $
इस प्रकार है कि $f(x)=f\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)=\frac{\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)-2}{\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)-3}$ = $=\frac{2-3 y-2+2 y}{2-3 y-3+3 y}=\frac{-y}{-1}=y$
$\therefore$ f आच्छादक फलन है। अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
तथा B = R - {1}
अब, f: $A \rightarrow B$ में, $f(x)=\frac{x-2}{x-3}$ द्वारा परिभाषित फलन है।
मान लीजिए x, y $\in $ A इस प्रकार है कि f(x) = f(y)
$\Rightarrow$ $\frac{x-2}{x-3}=\frac{y-2}{y-3} \Rightarrow$ (x - 2)(y - 3) = (y - 2)(x - 3)
$\Rightarrow $ $ x y-3 x-2 y+6=x y-3 y-2 x+6$
$\Rightarrow $ $-3 x-2 y=-3 y-2 x \Rightarrow 3 x-2 x=3 y-2 y$
$\Rightarrow $ x = y
$\therefore$ f एकैकी फलन है।
मान लीजिए $y \in B=R-\{1\} \therefore y \neq-1$
तब, f आच्छादक फलन होगा, यदि x $\in$ A इस प्रकार विद्यमान हो कि f(x) = y
$\Rightarrow $ $\frac{x-2}{x-3}=y \Rightarrow x-2=x y-3 y$
$\Rightarrow $ $x(1-y)=-3 y+2$
$\Rightarrow $ $x=\frac{2-3 y}{1-y} \in A$ $(y \neq 1)$
अतः प्रत्येक $y \in B$ के लिए $x=\frac{2-3 y}{1-y} \in A $
इस प्रकार है कि $f(x)=f\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)=\frac{\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)-2}{\left(\frac{2-3 y}{1-y}\right)-3}$ = $=\frac{2-3 y-2+2 y}{2-3 y-3+3 y}=\frac{-y}{-1}=y$
$\therefore$ f आच्छादक फलन है। अतः f एकैकी आच्छादक फलन है।
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