एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दोगुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
Miscellaneous Exercise-9
Download our app for free and get started
मान लीजिए सफल होने की प्रायिकता p तथा असफल होने की प्रायिकता q है, तो
p + q = 1 (प्रायिकता प्रमेय से) तथा p = 2q (दिया है)
$\Rightarrow$ 2q + q = 1 $\Rightarrow$ q = $\frac{1}{3}$ और इस प्रकार p = $\frac{2}{3}$
मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो छ: परीक्षणों में सफल होने की संख्या को निरूपित करता है।
द्विपद बंटन के प्रयोग से, P(X = r) = ${ }^{n} C, p^{\prime} q^{n-r}$ = ${ }^{6} C,\left(\frac{2}{3}\right)^{r}$$\left(\frac{1}{3}\right)^{6-r}$
P(छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे) = P(X $ \geq$ 4) = P(4) + P(5) + P(6)
= ${ }^{6} C_{4} p^{4} q^{2}$ + ${ }^{6} C_{5} p^{5} q^{1}$ + ${ }^{6} C_{6} p^{6} q^{0}$
= $ p$$^{4}\left({ }^{6} C_{2} q^{2}+{ }^{6} C_{1} p q+{ }^{6} C_{0} p^{2}\right)$$\left(\because{ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{n-1}\right)$
= $ \left(\frac{2}{3}\right)^{4}$$\left[\frac{6 \times 5}{1 \times 2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]$
= $\left(\frac{2}{3}\right)^{4}$$\left[\frac{15}{9}+\frac{12}{9}+\frac{4}{9}\right]$ = $\frac{31}{9}$$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}$
p + q = 1 (प्रायिकता प्रमेय से) तथा p = 2q (दिया है)
$\Rightarrow$ 2q + q = 1 $\Rightarrow$ q = $\frac{1}{3}$ और इस प्रकार p = $\frac{2}{3}$
मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो छ: परीक्षणों में सफल होने की संख्या को निरूपित करता है।
द्विपद बंटन के प्रयोग से, P(X = r) = ${ }^{n} C, p^{\prime} q^{n-r}$ = ${ }^{6} C,\left(\frac{2}{3}\right)^{r}$$\left(\frac{1}{3}\right)^{6-r}$
P(छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे) = P(X $ \geq$ 4) = P(4) + P(5) + P(6)
= ${ }^{6} C_{4} p^{4} q^{2}$ + ${ }^{6} C_{5} p^{5} q^{1}$ + ${ }^{6} C_{6} p^{6} q^{0}$
= $ p$$^{4}\left({ }^{6} C_{2} q^{2}+{ }^{6} C_{1} p q+{ }^{6} C_{0} p^{2}\right)$$\left(\because{ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{n-1}\right)$
= $ \left(\frac{2}{3}\right)^{4}$$\left[\frac{6 \times 5}{1 \times 2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right]$
= $\left(\frac{2}{3}\right)^{4}$$\left[\frac{15}{9}+\frac{12}{9}+\frac{4}{9}\right]$ = $\frac{31}{9}$$\left(\frac{2}{3}\right)^{4}$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1सिद्ध कीजिए कि यदि E और F दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो E और $\mathrm{F}^{\prime}$ भी स्वतंत्र होंगी।View Solution
- 2View SolutionA और B स्वतंत्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P(B) = 0.6, तो
- P(A और B)
- P(A और B - नहीं)
- P(A या B)
- P (A और B में कोई भी नहीं) का मान ज्ञात कीजिए।
- 3कल्पना कीजिए कि $5\%$ पुरुषों और $0.25\%$ महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।View Solution
- 4मान लीजिए कि X का बंटन B (6, $ \frac{1}{2}$) द्विपद बंटन है। दर्शाएँ कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।View Solution
- 5View Solutionएक थैले में 10 गेंदें है जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदें उत्तरोत्तर पुनः वापस रखते हुए निकाली जाती हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो?
- 6View Solutionएक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना सिक्के पर चित प्रकट होता है और B घटना पासे पर संख्या 3 प्रकट होती है को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं या नहीं?
- 7View Solutionएक पासे को तीन बार उछाला गया है
E: तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना - 8चार डिब्बों में रगींन गेंदें निम्न सारणी में दर्शाए गए तरह से आंबटित की गई है:View Solution
एक डिब्बे को यादृच्छया चुना गया और फिर उसमें से एक गेंद निकाली गई। यदि गेंद का रंग काला है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद को डिब्बा $- III$ से निकाला गया है?डिब्बा रंग काला सफ़ेद लाल नीला $I$ $3$ $4$ $5$ $6$ $II$ $2$ $2$ $2$ $2$ $III$ $1$ $2$ $3$ $1$ $IV$ $4$ $3$ $1$ $5$ - 9एक सत्य$-$असत्य प्रकार के $20$ प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो, तो वह प्रश्न का उत्तर सत्य देता है और यदि पट प्रकट हो, तो असत्य लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम$-$से$-$कम दो प्रश्नों का सही उत्तर देता है।View Solution
- 10एक कारखाने में $A$ और $B$ दो मशीनें लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का $60\%$ मशीन $A$ और $40\%$ मशीन $B$ द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन $A$ का $2\%$ और मशीन $B$ का $1\%$ उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के 'मशीन $A$ द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी$?$View Solution