एक भवन एक बेलन के आकार का है जिसके ऊपर एक अर्धगोलाकार गुंबज लगा हुआ है तथा इसमें $41\frac{19}{21} m^3$ वायु है। यदि इस गुंबज का आंतरिक व्यास उसके फर्श से संपूर्ण ऊँचाई के बराबर है, तो इस भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Exercise-12.4-15
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माना अर्धगोलाकार गुंबद की त्रिज्या $r$ है और भवन की कुल ऊंचाई $h$ है।
चूंकि, गुंबद का आंतरिक व्यास की कुल ऊंचाई $2r = h$ के बराबर है
$\Rightarrow r=\frac{h}{2}$
माना $H$ बेलनाकार स्थिति की ऊंचाई है।
$\Rightarrow H = h - r = h - \frac{h}{2}=\frac{h}{2}$
इमारत के अंदर हवा का आयतन $=$ गुंबद के अंदर हवा का आयतन $+$ बेलन के अंदर हवा का आयतन
$\Rightarrow 41\frac{19}{21}=\frac{2}{3} \pi r^{3}+\pi r^{2}H$
$\Rightarrow \frac{880}{21}=\pi r^{2}(\frac{2}{3}r + H)$
$\Rightarrow \frac{880}{21}=\frac{22}{7} \times\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\left(\frac{2}{3} \times \frac{h}{2}+\frac{h}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{880 \times 7}{22 \times 21}=\frac{h^{2}}{4} \times\left(\frac{h}{3}+\frac{h}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{40 \times 4}{3} = h^2 \times\left(\frac{5 h}{6}\right)$
$\Rightarrow \frac{40 \times 4 \times 6}{3 \times 5} = h^3$
$\Rightarrow h^{3 }= 64$
$\Rightarrow h = 4$
इस प्रकार, इमारत की ऊंचाई $4$ मीटर है।
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