एक ठोस खिलौना ऐसे आकार का है जैसे कि एक अर्धगोले पर एक लंब वृत्तीय शंकु रख दिया गया है। शंकु की ऊँचाई $4 \ cm$ है और आधार का व्यास $8 \ cm$ है। इस खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि इस खिलौने के परिगत कोई घन है, तो इस घन और खिलौने के आयतनों का अंतर ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
example-12.4-2
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मान लीजिए कि अर्धगोले और शंकु की त्रिज्या $r$ है तथा शंकु की ऊँचाई $h$ है $($देखिए आकृति$)।$
खिलौने का आयतन $=$ अर्धगोले का आयतन $+$ शंकु का आयतन
$= \frac{2}{3} \pi r^{3}+\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$= \left(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^{3}+\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^{2} \times 4\right) cm^3 = \frac{1408}{7} cm^3$
इस ठोस के परिगत एक घन है। अतः, घन का किनारा $8 \ cm$ लंबाई का होना चाहिए। इसलिए, घन का आयतन $= 8^{3 }cm^{3 }= 512 \ cm^3$
अतः, घन और खिलौने के आयतनों का अंतर $= (512 - \frac{1408}{7}) \ cm^{3 }= 310.86 \ cm^3$
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi rl + 2\pi r^2,$ जहाँ $l = \sqrt{h^{2}+r^{2}}$ है।
$= \pi r(l + 2r)$
$= \frac{22}{7} \times 4 \sqrt{4^{2} + 4^{2}} + 2 \times 4 \ cm^2$
$= \frac{22}{7} \times 4 \times 4\sqrt{2} + 8 \ cm^2$
$= \frac{88 \times 4}{7} \sqrt{2} + 2 \ cm^2$
$= 171.68 \ cm^2$
खिलौने का आयतन $=$ अर्धगोले का आयतन $+$ शंकु का आयतन
$= \frac{2}{3} \pi r^{3}+\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$= \left(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^{3}+\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 4^{2} \times 4\right) cm^3 = \frac{1408}{7} cm^3$
इस ठोस के परिगत एक घन है। अतः, घन का किनारा $8 \ cm$ लंबाई का होना चाहिए। इसलिए, घन का आयतन $= 8^{3 }cm^{3 }= 512 \ cm^3$
अतः, घन और खिलौने के आयतनों का अंतर $= (512 - \frac{1408}{7}) \ cm^{3 }= 310.86 \ cm^3$
खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=$ शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$= \pi rl + 2\pi r^2,$ जहाँ $l = \sqrt{h^{2}+r^{2}}$ है।
$= \pi r(l + 2r)$
$= \frac{22}{7} \times 4 \sqrt{4^{2} + 4^{2}} + 2 \times 4 \ cm^2$
$= \frac{22}{7} \times 4 \times 4\sqrt{2} + 8 \ cm^2$
$= \frac{88 \times 4}{7} \sqrt{2} + 2 \ cm^2$
$= 171.68 \ cm^2$
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