तीन अभिन्न डिब्बे $I, II$ और $III$ दिए गए हैं जहाँ प्रत्येक में दो सिक्के हैं। डिब्बे $I$ में दोनों सिक्के सोने के है, डिब्बे $II$ में दोनों सिक्के चाँदी के हैं और डिब्बे $III$ में एक सोने और एक चाँदी का सिक्का है। एक व्यक्ति यादृच्छया एक डिब्बा चुनता है और उसमें से यादृच्छया एक सिक्का निकालता है। यदि सिक्का सोने का है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का ही है$?$
example-17
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मान लें $E_1, E_2$ और $E_3$ क्रमशः डिब्बे $I, II, III$ के चयन को निरूपित करते हैं
तब $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$
साथ ही मान लें $A$ घटना 'निकाला गया सिक्का सोने का है' को दर्शाता है।
तब $\mathrm{P}\left(\mathrm{A|E}_{1}\right) = P ($डिब्बे I से सोने का सिक्का निकलना$) = \frac{2}{2} = 1$
$P \left(\mathrm{A|E}_{2}\right) = P$ डिब्बे $II$ से सोने का एक सिक्का निकलना $= 0$
$ \mathrm{P}\left(\mathrm{A|E}_{3}\right) = P$ डिब्बे $III$ से सोने का सिक्का निकलना $) = \frac{1}{2}$
अब डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का होने की प्रायिकता $=$ निकाला गया सोने का सिक्का डिब्बे $I$ से होने की प्रायिकता $= \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1} \mid \mathrm{A}\right)$
अब बेज़$-$प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1} \mid \mathrm{A}\right) = \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{1}\right)}{\left.\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{PA} \mid \mathrm{E}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1+\frac{1}{3} \times 0+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} $
$= \frac{2}{3}$
तब $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$
साथ ही मान लें $A$ घटना 'निकाला गया सिक्का सोने का है' को दर्शाता है।
तब $\mathrm{P}\left(\mathrm{A|E}_{1}\right) = P ($डिब्बे I से सोने का सिक्का निकलना$) = \frac{2}{2} = 1$
$P \left(\mathrm{A|E}_{2}\right) = P$ डिब्बे $II$ से सोने का एक सिक्का निकलना $= 0$
$ \mathrm{P}\left(\mathrm{A|E}_{3}\right) = P$ डिब्बे $III$ से सोने का सिक्का निकलना $) = \frac{1}{2}$
अब डिब्बे में दूसरा सिक्का भी सोने का होने की प्रायिकता $=$ निकाला गया सोने का सिक्का डिब्बे $I$ से होने की प्रायिकता $= \mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1} \mid \mathrm{A}\right)$
अब बेज़$-$प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1} \mid \mathrm{A}\right) = \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{1}\right)}{\left.\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{PA} \mid \mathrm{E}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}_{3}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{3} \times 1}{\frac{1}{3} \times 1+\frac{1}{3} \times 0+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} $
$= \frac{2}{3}$
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