मान लीजिए हमारे पास $\text{A, B, C}$ और $D$ बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीक से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो, तो इसे बॉक्स $A;$ बॉक्स $B,$ बॉक्स $C$ से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?
| बॉक्स | सगंमरमर की टुकड़ियों का रंग | ||
| लाल | सफेद | काला | |
| $A$ | $1$ | $6$ | $3$ |
| $B$ | $6$ | $2$ | $2$ |
| $C$ | $8$ | $1$ | $1$ |
| $D$ | $0$ | $6$ | $4$ |
Miscellaneous Exercise-12
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मान लीजिए घटना $E_1$ 'यादृच्छया चुना गया बॉक्स $A$ है' घटना $E_2$ 'यादृच्छया चुना गया बॉक्स $B$ है' घटना $E_3$ 'यादृच्छया चुना गया बॉक्स $C$ है' तथा घटना $E_4$' यादृच्छया चुना गया बॉक्स $D$ है' को निरूपित करता है।
अतः घटनाएँ $E_1, E_2, E_3$ तथा $E_4$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं।
$P\left(E_{1}\right) = P\left(E_{2}\right) = P\left(E_{3}\right) = P\left(E_{4}\right) = \frac{1}{4}$
मान लीजिए घटना $E$' निकाला गया टुकड़ा लाल है' को निरूपित करता है।
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)=\frac{1}{1+6+3}=\frac{1}{10}, P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)=\frac{6}{6+2+2}=\frac{6}{10}$
$P\left(\frac{E}{E_{3}}\right)=\frac{8}{8+1+1}=\frac{8}{10}$ तथा P$\left(\frac{E}{E_{2}}\right)=\frac{0}{0+6+4}=0$
बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P($निकाला गया टुकड़ा $A$ बक्से का हो$) = P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$=\frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)+P\left(\frac{E}{E_{4}}\right) P\left(E_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}+0 \times \frac{1}{4}}$
$=\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+0\right)}$=$\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{4} \times \frac{15}{10}}=\frac{\frac{1}{40}}{\frac{15}{40}}=\frac{1}{15}$
$P($निकाला गया टुकड़ा B बक्से का हो$) = P\left(\frac{E_{2}}{E}\right) $
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)+P\left(\frac{E}{E_{4}}\right) P\left(E_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}+0 \times \frac{1}{4}}$
$= \frac{6}{\frac{1}{40}\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+0\right)}=\frac{6}{\frac{1}{40} \times \frac{15}{10}}=\frac{40}{15}=\frac{6}{40} \times \frac{40}{15}= \frac{2}{5}$
$P($निकाला गया टुकड़ा बक्से $C$ का होगा $) = P\left(\frac{E_{3}}{E}\right)$
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)+P\left(\frac{E}{E_{4}}\right) P\left(E_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}+0 \times \frac{1}{4}}$
$= \frac{\frac{8}{40}}{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+0\right)}=\frac{\frac{8}{40}}{\frac{1}{4} \times \frac{15}{10}}=\frac{\frac{40}{15}}{40}=\frac{8}{40} \times \frac{40}{15}=\frac{8}{15}$
अतः घटनाएँ $E_1, E_2, E_3$ तथा $E_4$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं।
$P\left(E_{1}\right) = P\left(E_{2}\right) = P\left(E_{3}\right) = P\left(E_{4}\right) = \frac{1}{4}$
मान लीजिए घटना $E$' निकाला गया टुकड़ा लाल है' को निरूपित करता है।
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)=\frac{1}{1+6+3}=\frac{1}{10}, P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)=\frac{6}{6+2+2}=\frac{6}{10}$
$P\left(\frac{E}{E_{3}}\right)=\frac{8}{8+1+1}=\frac{8}{10}$ तथा P$\left(\frac{E}{E_{2}}\right)=\frac{0}{0+6+4}=0$
बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P($निकाला गया टुकड़ा $A$ बक्से का हो$) = P\left(\frac{E_{1}}{E}\right)$
$=\frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)+P\left(\frac{E}{E_{4}}\right) P\left(E_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}+0 \times \frac{1}{4}}$
$=\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+0\right)}$=$\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{4} \times \frac{15}{10}}=\frac{\frac{1}{40}}{\frac{15}{40}}=\frac{1}{15}$
$P($निकाला गया टुकड़ा B बक्से का हो$) = P\left(\frac{E_{2}}{E}\right) $
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)+P\left(\frac{E}{E_{4}}\right) P\left(E_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}+0 \times \frac{1}{4}}$
$= \frac{6}{\frac{1}{40}\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+0\right)}=\frac{6}{\frac{1}{40} \times \frac{15}{10}}=\frac{40}{15}=\frac{6}{40} \times \frac{40}{15}= \frac{2}{5}$
$P($निकाला गया टुकड़ा बक्से $C$ का होगा $) = P\left(\frac{E_{3}}{E}\right)$
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)+P\left(\frac{E}{E_{3}}\right) P\left(E_{3}\right)+P\left(\frac{E}{E_{4}}\right) P\left(E_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{8}{10} \times \frac{1}{4}+0 \times \frac{1}{4}}$
$= \frac{\frac{8}{40}}{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{10}+\frac{6}{10}+\frac{8}{10}+0\right)}=\frac{\frac{8}{40}}{\frac{1}{4} \times \frac{15}{10}}=\frac{\frac{40}{15}}{40}=\frac{8}{40} \times \frac{40}{15}=\frac{8}{15}$
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