एक व्यक्ति के बारे में ज्ञात है कि वह $4$ में से $3$ बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को उछालता है और बतलाता है कि उस पर आने वाली संख्या $6$ है। इस की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में $6$ है।
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मान लीजिए कि $E,$ 'व्यक्ति द्वारा पासे को उछाल कर यह बताने की कि उस पर आने वाली संख्या $6$ है' की घटना है। मान लीजिए कि $S_1,$ पासे पर संख्या $6$ आने की घटना और $S_2$ पासे पर संख्या $6$ नहीं आने की घटना हैं। तब
$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}_{1}\right)$ = संख्या $6$ आने की घटना की प्रायिकता $= \frac{1}{6}$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}_{2}\right)$ = संख्या $6$ नहीं आने की घटना की प्रायिकता $= \frac{5}{6}$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{S}_{1}\right) =$ व्यक्ति द्वारा यह बताने पर कि पासे कि संख्या $6$ आई है जबकि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में $6$ है, की प्रायिकता
$=$ व्यक्ति द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता $= \frac{3}{4}$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{S}_{2}\right) =$ व्यक्ति द्वारा यह बताने पर कि पासे पर संख्या $6$ आई है जबकि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में $6$ नहीं है, की प्रायिकता $=$ व्यक्ति द्वारा सत्य नहीं बोलने की प्रायिकता $= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ अब बेज़$-$प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}_{1} \mid \mathrm{E}\right) =$ व्यक्ति द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि संख्या $6$ प्रकट हुई है, जब वास्तव में संख्या $6$ है
$= \frac{P\left(S_{1}\right) P\left(E \mid S_{1}\right)}{P\left(S_{1}\right) P\left(E \mid S_{1}\right)+P\left(S_{2}\right) P\left(E \mid S_{2}\right)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \times \frac{24}{8} = \frac{3}{8}$ अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।
$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}_{1}\right)$ = संख्या $6$ आने की घटना की प्रायिकता $= \frac{1}{6}$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}_{2}\right)$ = संख्या $6$ नहीं आने की घटना की प्रायिकता $= \frac{5}{6}$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{S}_{1}\right) =$ व्यक्ति द्वारा यह बताने पर कि पासे कि संख्या $6$ आई है जबकि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में $6$ है, की प्रायिकता
$=$ व्यक्ति द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता $= \frac{3}{4}$
$\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{S}_{2}\right) =$ व्यक्ति द्वारा यह बताने पर कि पासे पर संख्या $6$ आई है जबकि पासे पर आने वाली संख्या वास्तव में $6$ नहीं है, की प्रायिकता $=$ व्यक्ति द्वारा सत्य नहीं बोलने की प्रायिकता $= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ अब बेज़$-$प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}_{1} \mid \mathrm{E}\right) =$ व्यक्ति द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि संख्या $6$ प्रकट हुई है, जब वास्तव में संख्या $6$ है
$= \frac{P\left(S_{1}\right) P\left(E \mid S_{1}\right)}{P\left(S_{1}\right) P\left(E \mid S_{1}\right)+P\left(S_{2}\right) P\left(E \mid S_{2}\right)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{8} \times \frac{24}{8} = \frac{3}{8}$ अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{8}$ है।
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