मान लें कि एक एच.आई.वी. परीक्षण की विश्वसनीयता निम्नलिखित प्रकार से निर्दिष्ट की गई है।
एच.आई.वी. पोजीटिव व्यक्तियों के लिए परीक्षण 90% पता लगाने में और 10% पता न लगाने में सक्षम है। एच.आई.वी. से स्वतंत्र व्यक्तियों के लिए परीक्षण, 99% सही पता लगाता है यानी एच. आई.वी नेगेटिव बताता है जबकि 1% परीक्षित व्यक्तियों के लिए एच.आई.वी. पोजीटिव बताता है। एक बड़ी जनसंख्या, जिसमें 0.1% व्यक्ति एच.आई.वी. ग्रस्त है, में से एक व्यक्ति यादृच्छया चुना जाता है और उस का परीक्षण किया जाने पर रोगविज्ञानी एच.आई.वी. की उपस्थिति बताता है। क्या प्रायिकता है कि वह व्यक्ति वास्तव में एच.आई.वी. (पोजीटिव) है?
एच.आई.वी. पोजीटिव व्यक्तियों के लिए परीक्षण 90% पता लगाने में और 10% पता न लगाने में सक्षम है। एच.आई.वी. से स्वतंत्र व्यक्तियों के लिए परीक्षण, 99% सही पता लगाता है यानी एच. आई.वी नेगेटिव बताता है जबकि 1% परीक्षित व्यक्तियों के लिए एच.आई.वी. पोजीटिव बताता है। एक बड़ी जनसंख्या, जिसमें 0.1% व्यक्ति एच.आई.वी. ग्रस्त है, में से एक व्यक्ति यादृच्छया चुना जाता है और उस का परीक्षण किया जाने पर रोगविज्ञानी एच.आई.वी. की उपस्थिति बताता है। क्या प्रायिकता है कि वह व्यक्ति वास्तव में एच.आई.वी. (पोजीटिव) है?
example-18
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मान लें E चुने गए व्यक्ति के वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव होने की घटना और A व्यक्ति के एच.आई.वी. परीक्षण में पोजीटिव होने की घटना को दर्शाते हैं। हमें P$(\mathrm{E} \mid \mathrm{A})$ ज्ञात करना है। साथ ही E' चुने गए व्यक्ति के एच.आई.वी. पोजीटिव न होने की घटना को दर्शाता है।
स्पष्टतया $ \left\{\mathrm{E}, \mathrm{E}^{\prime}\right\}$ जनसंख्या में सभी व्यक्तियों के प्रतिदर्श समष्टि का एक विभाजन है। हमें ज्ञात है
P(E) = 0.1% = $\frac{0.1}{100}$ = 0.001
P(E') = 1 - P(E) = 0.999
$\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{E})$ = P (व्यक्ति का परीक्षण में एच.आई.वी. पोजीटिव दर्शाना जबकि दिया गया है कि वह वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव है) = 90% = $ \frac{9}{10} $ = 0.9
और $ \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}^{\prime}\right)$ = P (व्यक्ति का परीक्षण में एच.आई.वी. पोजीटिव दर्शाना जब कि दिया गया है कि वह वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव नहीं है) = 1% = 0.01
अब बेज़-प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \mid \mathrm{A})$ = $ \frac{\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{E})}{\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{E})+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}^{\prime}\right)}$
= $ \frac{0.001 \times 0.9}{0.001 \times 0.9+0.999 \times 0.01}$ = $\frac{90}{1089}$ = 0.083 (लगभग)
अतः एक यादृच्छया चुने गए व्यक्ति के वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव होने की प्रायिकता जब कि ज्ञात है कि उसका एच.आई.वी. परीक्षण पोजीटवि है, 0.083 है।
स्पष्टतया $ \left\{\mathrm{E}, \mathrm{E}^{\prime}\right\}$ जनसंख्या में सभी व्यक्तियों के प्रतिदर्श समष्टि का एक विभाजन है। हमें ज्ञात है
P(E) = 0.1% = $\frac{0.1}{100}$ = 0.001
P(E') = 1 - P(E) = 0.999
$\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{E})$ = P (व्यक्ति का परीक्षण में एच.आई.वी. पोजीटिव दर्शाना जबकि दिया गया है कि वह वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव है) = 90% = $ \frac{9}{10} $ = 0.9
और $ \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}^{\prime}\right)$ = P (व्यक्ति का परीक्षण में एच.आई.वी. पोजीटिव दर्शाना जब कि दिया गया है कि वह वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव नहीं है) = 1% = 0.01
अब बेज़-प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \mid \mathrm{A})$ = $ \frac{\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{E})}{\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{E})+\mathrm{P}\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{A} \mid \mathrm{E}^{\prime}\right)}$
= $ \frac{0.001 \times 0.9}{0.001 \times 0.9+0.999 \times 0.01}$ = $\frac{90}{1089}$ = 0.083 (लगभग)
अतः एक यादृच्छया चुने गए व्यक्ति के वास्तव में एच.आई.वी. पोजीटिव होने की प्रायिकता जब कि ज्ञात है कि उसका एच.आई.वी. परीक्षण पोजीटवि है, 0.083 है।
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