मान लें कि पासों के एक जोड़े को उछाला जाता है और यादृच्छिक चर $X,$ पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग लिया जाता है। $X$ का माध्य या प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
example-27
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इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि $36$ मौलिक घटनाओं से निर्मित हुआ है, जिन्हें क्रमित युग्म $\left(x_{i}, y_{i}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $x_1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ और $y_1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6$
यादृच्छिक चर $X$ के मान अर्थात् पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ या $12$ हो सकता है
अब $\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) = \mathrm{P}(\{(1,1)\}) = \frac{1}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=3) = \mathrm{P}(\{(1,2),(2,1)\}) = \frac{2}{36}$
$P(X = 4) = \mathrm{P}(\{(1,3),(2,2),(3,1)\})=\frac{3}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=5) = \mathrm{P}(\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\})=\frac{4}{36} $
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=6) = \mathrm{P}(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\})=\frac{5}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=7) = \mathrm{P}(\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}) = \frac{6}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=8) = \mathrm{P}(\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}) = \frac{5}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=9)=\mathrm{P}(\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\})=\frac{4}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=10) = \mathrm{P}(\{(4,6),(5,5),(6,4)\})=\frac{3}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=11) = \mathrm{P}(\{(5,6),(6,5)\})=\frac{2}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=12) = \mathrm{P}\left(\left\{(6,6)=\frac{1}{36}\right.\right.$
$X$ का प्ररायिकता बंटन है:
इसलिए $\mu = \mathrm{E}(\mathrm{X}) = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}=2 \times \frac{1}{36}+3 \times \frac{3}{36}+5 \times \frac{4}{36}+6 \times \frac{5}{36}+7 \times \frac{6}{36}+8 \times \frac{5}{36}+9 \times \frac{4}{36}+10 \times \frac{3}{36}+11 \times \frac{2}{36}+12 \times \frac{1}{36}$
$= \frac{2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12}{36} = 7$
अतः दो पासों के फेंकने पर प्रकट संख्याओं के योग का माध्य $7$ है।
यादृच्छिक चर $X$ के मान अर्थात् पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ या $12$ हो सकता है
अब $\mathrm{P}(\mathrm{X}=2) = \mathrm{P}(\{(1,1)\}) = \frac{1}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=3) = \mathrm{P}(\{(1,2),(2,1)\}) = \frac{2}{36}$
$P(X = 4) = \mathrm{P}(\{(1,3),(2,2),(3,1)\})=\frac{3}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=5) = \mathrm{P}(\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\})=\frac{4}{36} $
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=6) = \mathrm{P}(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\})=\frac{5}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=7) = \mathrm{P}(\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}) = \frac{6}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=8) = \mathrm{P}(\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}) = \frac{5}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=9)=\mathrm{P}(\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\})=\frac{4}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=10) = \mathrm{P}(\{(4,6),(5,5),(6,4)\})=\frac{3}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=11) = \mathrm{P}(\{(5,6),(6,5)\})=\frac{2}{36}$
$\mathrm{P}(\mathrm{X}=12) = \mathrm{P}\left(\left\{(6,6)=\frac{1}{36}\right.\right.$
$X$ का प्ररायिकता बंटन है:
| $X$ या $x_i$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
| $P(X)$ या $p_i$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
$= \frac{2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12}{36} = 7$
अतः दो पासों के फेंकने पर प्रकट संख्याओं के योग का माध्य $7$ है।
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