एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई $8 \ cm$ है और इसके ऊपरी सिरे $($जो खुला हुआ है$)$ की त्रिज्या $5 \ cm$ है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक $0.5 \ cm$ त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Exercise-12.2-5
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शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई $(h) = 8$ सेमी.
आधार की त्रिज्या $(r) = 5$ सेमी.
चूंकि शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\therefore$ बर्तन का आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5)^{2} \times 8$ सेमी$.^3$
$= \frac{4400}{21}$ सेमी$.^3$
चूंकि शंकु का आयतन $=$ बर्तन में पानी का आयतन
$\therefore$ बर्तन में पानी का आयतन $= \frac{4400}{21}$ सेमी$.^3$
अब, गोलाकार एक गोली की त्रिज्या $(r') = 0.5$ सेमी. $= \frac{5}{10}$ सेमी.
\therefore 1 गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^{\prime 3}$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10}$ सेमी$.^3$
माना गोलियों की वांछित संख्या $= n$
चूंकि गोलियों को बर्तन में डालने पर पानी का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकलता है।
$\therefore n$ गोलियों का आयतन $= \frac{1}{4} ($बर्तन में पानी का आयतन$)$
$\Rightarrow n\left[\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10}\right] = \frac{1}{4}\left[\frac{4400}{21}\right]$
$\Rightarrow n = \frac{1100}{21} \times \frac{3 \times 7 \times 10 \times 10 \times 10}{4 \times 22 \times 5 \times 5 \times 5} = 100$
अत: गोलियों की संख्या $= 100$
आधार की त्रिज्या $(r) = 5$ सेमी.
चूंकि शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\therefore$ बर्तन का आयतन $= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5)^{2} \times 8$ सेमी$.^3$
$= \frac{4400}{21}$ सेमी$.^3$
चूंकि शंकु का आयतन $=$ बर्तन में पानी का आयतन
$\therefore$ बर्तन में पानी का आयतन $= \frac{4400}{21}$ सेमी$.^3$
अब, गोलाकार एक गोली की त्रिज्या $(r') = 0.5$ सेमी. $= \frac{5}{10}$ सेमी.
\therefore 1 गोली का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^{\prime 3}$
$= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10}$ सेमी$.^3$
माना गोलियों की वांछित संख्या $= n$
चूंकि गोलियों को बर्तन में डालने पर पानी का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकलता है।
$\therefore n$ गोलियों का आयतन $= \frac{1}{4} ($बर्तन में पानी का आयतन$)$
$\Rightarrow n\left[\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10}\right] = \frac{1}{4}\left[\frac{4400}{21}\right]$
$\Rightarrow n = \frac{1100}{21} \times \frac{3 \times 7 \times 10 \times 10 \times 10}{4 \times 22 \times 5 \times 5 \times 5} = 100$
अत: गोलियों की संख्या $= 100$
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