एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास $3 \ cm$ है और इसकी लंबाई $12 \ cm$ है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई $2\ cm$ हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। $($यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं$।)$
Exercise-12.2-2
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यहाँ, व्यास $= 3$ सेमी.
$\Rightarrow$ त्रिज्या $(r) = \frac{3}{2}$ सेमी.
कुल ऊँचाई $= 12$ सेमी.
एक शंकु की ऊँचाई $(h_1) = 2$ सेमी.
दूसरे शंकु की ऊँचाई $= 2 \times 2 = 4$ सेमी.
$\therefore$ बेलन की ऊँचाई $(h_2) = (12 - 4)$ सेमी. $= 8$ सेमी.
अब, बेलनाकार भाग का आयतन $= \pi r^{2} h_{2}$
दोनों शंक्वाकार भागों का आयतन $= 2\left[\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{1}\right]$
$\therefore$ पूरे मॉडल का आयतन $= \pi r^{2} h_{2}+\frac{2}{3} \pi r^{2} h_{1}$
$= \pi r^{2}\left[h_{2}+\frac{2}{3} h_{1}\right]$
$= \frac{22}{7} \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\left[8+\frac{2}{3}(2)\right]$ सेमी.$^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{9}{4} \times\left(\frac{24+4}{3}\right)$ सेमी.$^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{3}{4} \times 28$ सेमी$.^3$
$= 22 \times 3$ सेमी.$^3 = 66$ सेमी$.^3$
$\Rightarrow$ त्रिज्या $(r) = \frac{3}{2}$ सेमी.
कुल ऊँचाई $= 12$ सेमी.
एक शंकु की ऊँचाई $(h_1) = 2$ सेमी.
दूसरे शंकु की ऊँचाई $= 2 \times 2 = 4$ सेमी.
$\therefore$ बेलन की ऊँचाई $(h_2) = (12 - 4)$ सेमी. $= 8$ सेमी.
अब, बेलनाकार भाग का आयतन $= \pi r^{2} h_{2}$
दोनों शंक्वाकार भागों का आयतन $= 2\left[\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{1}\right]$
$\therefore$ पूरे मॉडल का आयतन $= \pi r^{2} h_{2}+\frac{2}{3} \pi r^{2} h_{1}$
$= \pi r^{2}\left[h_{2}+\frac{2}{3} h_{1}\right]$
$= \frac{22}{7} \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\left[8+\frac{2}{3}(2)\right]$ सेमी.$^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{9}{4} \times\left(\frac{24+4}{3}\right)$ सेमी.$^3$
$= \frac{22}{7} \times \frac{3}{4} \times 28$ सेमी$.^3$
$= 22 \times 3$ सेमी.$^3 = 66$ सेमी$.^3$
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