रशीद को जन्मदिन के उपहार के रूप में एक लट्ट् मिला, जिस पर रंग नहीं किया गया था। वह इस पर अपने मोमिया रंगों $($Crayons$)$ से रंग करना चाहता है। यह लट्टू एक शंकु के आकार का है जिसके ऊपर एक अर्धगोला अध्यारोपित है $($देखिए आकृति$)।$ लट्टू की पूरी ऊँचाई $5 \ cm$ है और इसका व्यास $3.5 \ cm$ है। उसके द्वारा रंग किया जाने वाला क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।$ (\pi=\frac{22}{7}$ लीजिए।$)$
example-1
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लट्टू का $\text{TSA} =$ अर्धगोले का $\text{CSA} +$ शंकु का $\text{CSA}$
अब, अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$
$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2}\right) cm^2$
साथ ही, शंकु की ऊँचाई $=$ लट्टू की ऊँचाई $-$ अर्धगोलीय भाग की ऊँचाई $($त्रिज्या$)$
$= \left(5-\frac{3.5}{2}\right) cm = 3.25 \ cm$
अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} cm = 3.7 \ cm ($लगभग$)$
इसलिए शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l=\left(\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 3.7\right) cm^2$
इससे लट्ट् का प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2}\right) cm^2 + \left(\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 3.7\right) cm^2$
$= \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2}(3.5+3.7) cm^2 $
$= \frac{11}{2} \times(3.5+3.7) cm^2 $
$= 39.6 \ cm^2 ($लगभग$)$
आप देख सकते हैं कि लट्टू का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले और शंकु के संपूर्ण पुष्ठीय क्षेत्रफलों के योग के बराबर नहीं है।
अब, अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}\left(4 \pi r^{2}\right)=2 \pi r^{2}$
$= \left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2}\right) cm^2$
साथ ही, शंकु की ऊँचाई $=$ लट्टू की ऊँचाई $-$ अर्धगोलीय भाग की ऊँचाई $($त्रिज्या$)$
$= \left(5-\frac{3.5}{2}\right) cm = 3.25 \ cm$
अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई $(l) = \sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3.5}{2}\right)^{2}+(3.25)^{2}} cm = 3.7 \ cm ($लगभग$)$
इसलिए शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l=\left(\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 3.7\right) cm^2$
इससे लट्ट् का प्राप्त पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times \frac{3.5}{2}\right) cm^2 + \left(\frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2} \times 3.7\right) cm^2$
$= \frac{22}{7} \times \frac{3.5}{2}(3.5+3.7) cm^2 $
$= \frac{11}{2} \times(3.5+3.7) cm^2 $
$= 39.6 \ cm^2 ($लगभग$)$
आप देख सकते हैं कि लट्टू का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले और शंकु के संपूर्ण पुष्ठीय क्षेत्रफलों के योग के बराबर नहीं है।
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