लकड़ी का एक खिलौना रॉकेट $($rocket$)$ एक शंकु के आकार का है जो एक बेलन पर अध्यारोपित है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। संपूर्ण रॉकेट की ऊँचाई $26 \ cm$ है, जबकि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $6 \ cm$ है। शंक्वाकार के भाग के आधार का व्यास $5 \ cm$ और बेलनाकार भाग के आधार का व्यास $3 \ cm$ है। यदि शंक्वाकार भाग पर नारंगी रंग किया जाना है और बेलनाकार भाग पर पीला रंग किया जाना है, तो प्रत्येक रंग द्वारा रॉकेट का रँगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi = 3.14$ लीजिए$)$
example-3
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शंकु की त्रिज्या को $r$ से, शंकु की तिर्यक ऊँचाई को $l$ से, शंकु की ऊँचाई को $h$ से, बेलन की त्रिज्या को $r\ '$ से, बेलन की ऊँचाई को $h\ '$ से व्यक्त कीजिए।
तब, $r = 2.5 \ cm, h = 6 \ cm, r\ ' = 1.5 \ cm, h\ ' = 26 - 6 = 20 \ cm$ तथा
$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} cm = 6.5 \ cm$
यहाँ, शंक्वाकार भाग का वृत्तीय आधार बेलन के आधार पर टिका हुआ है परंतु शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है। अतः, शंकु के आधार के एक भाग $[$वलय $($ring$)]$ को भी रँगा जाएगा।
अतः, नारंगी रंग से रँगे भाग का क्षेत्रफल $=$ शंकु का $\text{CSA} +$ शंकु के आधार का क्षेत्रफल $-$ बेलन के आधार का क्षेत्रफल
$= \pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^\ {\prime}\right)^{2}$
$= \pi[(2.5 \times 6.5) + (2.5)^2 - (1.5)^2]cm^2$
$= \pi[20.25] \ cm^2 = 3.14 \times 20.25 \ cm^2$
$= 63.585 \ cm^2$
अब, पीले रंग से रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल $=$ बेलन का $\text{CSA} +$ बेलन के एक आधार का क्षेत्रफल
$= 2 \pi r^\ {\prime} h^\ {\prime}+\pi\left(r^\ {\prime}\right)^{2}$
$= \pi r^\ {\prime}\left(2 h^\ {\prime}+r^\ {\prime}\right)$
$= 3.14 \times 1.5[2 \times 20 + 1.5] \ cm^2$
$= 4.71 \times 41.5 \ cm^2$
$= 195.465 \ cm^2$
तब, $r = 2.5 \ cm, h = 6 \ cm, r\ ' = 1.5 \ cm, h\ ' = 26 - 6 = 20 \ cm$ तथा
$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}} cm = 6.5 \ cm$
यहाँ, शंक्वाकार भाग का वृत्तीय आधार बेलन के आधार पर टिका हुआ है परंतु शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है। अतः, शंकु के आधार के एक भाग $[$वलय $($ring$)]$ को भी रँगा जाएगा।
अतः, नारंगी रंग से रँगे भाग का क्षेत्रफल $=$ शंकु का $\text{CSA} +$ शंकु के आधार का क्षेत्रफल $-$ बेलन के आधार का क्षेत्रफल
$= \pi r l+\pi r^{2}-\pi\left(r^\ {\prime}\right)^{2}$
$= \pi[(2.5 \times 6.5) + (2.5)^2 - (1.5)^2]cm^2$
$= \pi[20.25] \ cm^2 = 3.14 \times 20.25 \ cm^2$
$= 63.585 \ cm^2$
अब, पीले रंग से रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल $=$ बेलन का $\text{CSA} +$ बेलन के एक आधार का क्षेत्रफल
$= 2 \pi r^\ {\prime} h^\ {\prime}+\pi\left(r^\ {\prime}\right)^{2}$
$= \pi r^\ {\prime}\left(2 h^\ {\prime}+r^\ {\prime}\right)$
$= 3.14 \times 1.5[2 \times 20 + 1.5] \ cm^2$
$= 4.71 \times 41.5 \ cm^2$
$= 195.465 \ cm^2$
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