एक थैले में $4$ लाल और $4$ काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में $2$ लाल और $6$ काली गेंदे हैं। दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें एक गेंद निकाली जाती है जोकि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है$?$
Exercise-13.3-2
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मान लीजिए कि घटना $E_1$ 'पहले थैले के चुने जाने' तथा घटना $E_2$ दूसरे थैले के चुने जाने को निरूपित करता है तथा घटनाएँ $E_1$ एवं $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटनाएँ हैं और
$P \left(E_{1}\right) =P\left(E_{2}\right) =\frac{1}{2}$
मान लीजिए घटना $E$ निकाली गई गेंद लाल है' को निरूपित करता है।
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)= P$(पहले थैले से एक लाल गेंद निकाली गई$) = \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P \left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($दूसरे थैले से एक लाल गेंद निकाली गई$) = \frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= P \left(\frac{E_{1}}{E}\right) = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}$
$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}$
$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+1}{8}}$
$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{8}}$
$=\frac{1}{4} \times \frac{8}{3}$
$=\frac{2}{3}$
$P \left(E_{1}\right) =P\left(E_{2}\right) =\frac{1}{2}$
मान लीजिए घटना $E$ निकाली गई गेंद लाल है' को निरूपित करता है।
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)= P$(पहले थैले से एक लाल गेंद निकाली गई$) = \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow P \left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($दूसरे थैले से एक लाल गेंद निकाली गई$) = \frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= P \left(\frac{E_{1}}{E}\right) = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$= \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}$
$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}$
$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+1}{8}}$
$= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{8}}$
$=\frac{1}{4} \times \frac{8}{3}$
$=\frac{2}{3}$
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