मान लीजिए कि $90\%$ लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि $10$ लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक $-$ से $-$ अधिक $6$ लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
Miscellaneous Exercise-4
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कोई भी व्यक्ति या तो दाहिने हाथ से काम करने वाला या बाएँ हाथ से काम करने वाला हो सकता है।
दिया गया है कि $90\%$ लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं।
अतः $p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$ तथा $q = 1 - p = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}, n = 10$
स्पष्टत: $X$ बंटन $, n = 10, P = \frac{9}{10}$ तथा $Q = \frac{1}{10}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$ \therefore P(X = r) = {n} C_{r} p{\prime} q^{n-r} = {10} C_{r}\left(\frac{9}{10}\right)^{r} \left(\frac{1}{10}\right)^{10-r}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता $ = P(X \leq 6)$
$= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= {10} C_{0} p^{0} q^{10}$$+{ }^{10} C_{1} p^{1} q^{9}$$+{10} C_{2} p^{2} q^{8}$$+{10} C_{3} p^{3} q^{7}$$+{10} C_{4} p^{4} q^{6} $$+{10} C_{5} p^{5} q^{5}$$+{ }^{10} C_{6} p^{6} q^{4}$
= $q^{10}+10 p q^{9}$$+\frac{10 \times 9}{1 \times 2} p^{2} q^{8}$$+\frac{10 \times 9 \times 8}{1 \times 2 \times 3} \ p^{3} q^{7}$$+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \ p^4q^{6 }+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \ p^{5} q^{5}$+ $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \ p^{6} q^{4}$
$= q^{10}+10 p q^{9}$$+45 p^{2} q^{8}$$+120 p^{3} q^{7}$$+210 p^{4} q^{6}$$+252 p^{5} q^{5}$$+210 p^{6} q^{4}$
$= \left(\frac{1}{10}\right)^{10}$$+10\left(\frac{9}{10}\right)$$\left(\frac{1}{10}\right)^{9}$$+45\left(\frac{9}{10}\right)$$^{2}\left(\frac{1}{10}\right)^{8}$$+120\left(\frac{9}{10}\right)^{3}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{7}$ + $210\left(\frac{9}{10}\right)^{4}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{6}$$+252\left(\frac{9}{10}\right)^{5}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{5}$$+210\left(\frac{9}{10}\right)^{6}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{4}$
= $\frac{1+90+45 \times 9^{2}+120 \times 9^{3}+210 \times 9^{4}+252 \times 9^{5}+210 \times 9^{6}}{10^{10}}$
दिया गया है कि $90\%$ लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं।
अतः $p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$ तथा $q = 1 - p = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}, n = 10$
स्पष्टत: $X$ बंटन $, n = 10, P = \frac{9}{10}$ तथा $Q = \frac{1}{10}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$ \therefore P(X = r) = {n} C_{r} p{\prime} q^{n-r} = {10} C_{r}\left(\frac{9}{10}\right)^{r} \left(\frac{1}{10}\right)^{10-r}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता $ = P(X \leq 6)$
$= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= {10} C_{0} p^{0} q^{10}$$+{ }^{10} C_{1} p^{1} q^{9}$$+{10} C_{2} p^{2} q^{8}$$+{10} C_{3} p^{3} q^{7}$$+{10} C_{4} p^{4} q^{6} $$+{10} C_{5} p^{5} q^{5}$$+{ }^{10} C_{6} p^{6} q^{4}$
= $q^{10}+10 p q^{9}$$+\frac{10 \times 9}{1 \times 2} p^{2} q^{8}$$+\frac{10 \times 9 \times 8}{1 \times 2 \times 3} \ p^{3} q^{7}$$+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \ p^4q^{6 }+\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \ p^{5} q^{5}$+ $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \ p^{6} q^{4}$
$= q^{10}+10 p q^{9}$$+45 p^{2} q^{8}$$+120 p^{3} q^{7}$$+210 p^{4} q^{6}$$+252 p^{5} q^{5}$$+210 p^{6} q^{4}$
$= \left(\frac{1}{10}\right)^{10}$$+10\left(\frac{9}{10}\right)$$\left(\frac{1}{10}\right)^{9}$$+45\left(\frac{9}{10}\right)$$^{2}\left(\frac{1}{10}\right)^{8}$$+120\left(\frac{9}{10}\right)^{3}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{7}$ + $210\left(\frac{9}{10}\right)^{4}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{6}$$+252\left(\frac{9}{10}\right)^{5}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{5}$$+210\left(\frac{9}{10}\right)^{6}$$\left(\frac{1}{10}\right)^{4}$
= $\frac{1+90+45 \times 9^{2}+120 \times 9^{3}+210 \times 9^{4}+252 \times 9^{5}+210 \times 9^{6}}{10^{10}}$
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