पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक् होना एक सफलता मानी जाती है, तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Exercise-13.5-2
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यहाँ परीक्षण n = 4 के लिए यह एक बरनौली परीक्षण है तथा पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक् होना यहाँ सफलता है।
जब पासों के एक जोड़े को एक बार उछाला जाता है, तो उसके कुल समसंभाव्य परिणामों की संख्या = 6$ \times$ 6 = 36
अतः परिणामों की कुल संख्या = 36
तथा संभावित द्विक् {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} हैं।
$\Rightarrow$अतः अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
$\therefore$ P = P(सफलताएँ) = P(पासों के एक जोड़े की एक उछाल पर द्विक प्राप्त होना)
=
= $\frac{6}{36}$$=\frac{1}{6}$
q = P (असफलता) = 1 - p = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$
स्पष्टत: X बंटन n = 4, p =$ \frac{1}{6}$ और q = $\frac{5}{6}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$\because$ P(X = r) = ${ }^{n} C_{r} p^{r} q^{n-r}$, जहाँ r = 0, 1, 2,...,n
P(X = r) =$ { }^{4} C_{r}\left(\frac{1}{6}\right)^{r}$$ \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{4-r}$$={ }^{4} C_{r} \frac{5^{4-2}}{6^{4}}$
अब, P(2 सफलताओं) = $ { }^{4} C_{2} p^{2} q^{2}$ = $\frac{4 \times 3}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$ = $6 \times \frac{1}{36}$$ \times \frac{25}{36}$$=\frac{25}{216}$
जब पासों के एक जोड़े को एक बार उछाला जाता है, तो उसके कुल समसंभाव्य परिणामों की संख्या = 6$ \times$ 6 = 36
अतः परिणामों की कुल संख्या = 36
तथा संभावित द्विक् {(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} हैं।
$\Rightarrow$अतः अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
$\therefore$ P = P(सफलताएँ) = P(पासों के एक जोड़े की एक उछाल पर द्विक प्राप्त होना)
=
= $\frac{6}{36}$$=\frac{1}{6}$q = P (असफलता) = 1 - p = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$
स्पष्टत: X बंटन n = 4, p =$ \frac{1}{6}$ और q = $\frac{5}{6}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$\because$ P(X = r) = ${ }^{n} C_{r} p^{r} q^{n-r}$, जहाँ r = 0, 1, 2,...,n
P(X = r) =$ { }^{4} C_{r}\left(\frac{1}{6}\right)^{r}$$ \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{4-r}$$={ }^{4} C_{r} \frac{5^{4-2}}{6^{4}}$
अब, P(2 सफलताओं) = $ { }^{4} C_{2} p^{2} q^{2}$ = $\frac{4 \times 3}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$ = $6 \times \frac{1}{36}$$ \times \frac{25}{36}$$=\frac{25}{216}$
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