प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई। मान ले X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
Exercise-13.4-12
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किन्हीं दो धन पूर्णांकों को प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से बिना प्रतिस्थापन चुनने के 6 $\times$ 5 = 30 तरीके हो सकते हैं।
अतः यादृच्छिक चर x के मान 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकते हैं।
(चूँकि अन्य चयनित संख्या से संख्या 1 बड़ी नहीं हो सकती है)
P(X = 2) = P(एक संख्या 2 तथा दूसरी इससे छोटी धन पूर्णांक का चुनना)
= P(1, 2), (2, 1)
= $\frac{2}{30}$$=\frac{1}{15}$
P(X = 3) = P(एक संख्या 3 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक का चुनना)
= P(1, 3),(2, 3),(3, 1) तथा (3,2)]
= $ \frac{4}{30}$$=\frac{2}{15}$
P(X = 4) = P(एक संख्या 4 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक का चुनना)
= P[(1, 4),(2, 4),(3, 4),(4, 1),(4, 2),(4, 3)] =$ \frac{6}{30}$$=\frac{3}{15}$
P(X = 5) = P(एक संख्या 5 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक का चुनना)
= P[(1, 5),(2, 5),(3, 5),(4, 5),(5, 1),(5, 2),(5, 3),(5, 4)]
=$\frac{8}{30}$$=\frac{4}{15}$
P(X = 6) = P(एक संख्या 6 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक को चुनना) = P[(1, 6),(2, 6),(3, 6),(4, 6),(5, 6),(6, 1),(6, 2),(6, 3),(6, 4),(6, 5)] =$ \frac{10}{30}$$=\frac{1}{3}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
अतः यादृच्छिक चर x के मान 2, 3, 4, 5 या 6 हो सकते हैं।
(चूँकि अन्य चयनित संख्या से संख्या 1 बड़ी नहीं हो सकती है)
P(X = 2) = P(एक संख्या 2 तथा दूसरी इससे छोटी धन पूर्णांक का चुनना)
= P(1, 2), (2, 1)
= $\frac{2}{30}$$=\frac{1}{15}$
P(X = 3) = P(एक संख्या 3 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक का चुनना)
= P(1, 3),(2, 3),(3, 1) तथा (3,2)]
= $ \frac{4}{30}$$=\frac{2}{15}$
P(X = 4) = P(एक संख्या 4 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक का चुनना)
= P[(1, 4),(2, 4),(3, 4),(4, 1),(4, 2),(4, 3)] =$ \frac{6}{30}$$=\frac{3}{15}$
P(X = 5) = P(एक संख्या 5 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक का चुनना)
= P[(1, 5),(2, 5),(3, 5),(4, 5),(5, 1),(5, 2),(5, 3),(5, 4)]
=$\frac{8}{30}$$=\frac{4}{15}$
P(X = 6) = P(एक संख्या 6 तथा दूसरी इससे छोटी धनात्मक पूर्णांक को चुनना) = P[(1, 6),(2, 6),(3, 6),(4, 6),(5, 6),(6, 1),(6, 2),(6, 3),(6, 4),(6, 5)] =$ \frac{10}{30}$$=\frac{1}{3}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P(X) | $\frac{1}{15}$ | $\frac{2}{15}$ | $\frac{3}{15}$ | $\frac{4}{15}$ | $\frac{1}{3}$ |
$\because$ X की प्रत्याशा = E(X) = $\Sigma$X P(X)
= 2 $\times \frac{1}{15}$$+3 \times \frac{2}{15}$$+4 \times \frac{3}{15}$$+5 \times \frac{4}{15}$$+6 \times$$ \frac{1}{3}$
= $ \frac{2+6+12+20+30}{15}$ = $\frac{70}{15}$ = $\frac{14}{3}$
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