एक कक्षा में $15$ छात्र हैं जिनकी आयु $14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19$ और $20$ वर्ष हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र को चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु $(X)$ को लिखा गया। यादुच्छिक चर $X$ का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। $X$ का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
Exercise-13.4-14
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यहाँ विद्यार्थियों की कुल संख्या $= 15$
विद्यार्थियों की आयु बढ़ते क्रम में $14, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21$ है।
अब, $P(X = 14) = \frac{2}{15}, P(X = 15) = \frac{1}{15}, P(X = 16) = \frac{2}{15}, P(X = 17) = \frac{3}{15}$
$P(X = 18) = \frac{1}{15}, P(X = 19) = \frac{2}{15}, P(X = 20) = \frac{3}{15}, (X = 21) = \frac{1}{15}$
अतः यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता बंटन निम्नलिखित है।
तीसरी पंक्ति $X$ का प्रायिकता बंटन है।
$X$ का माध्य$ = \Sigma \times P(X)$
$= \frac{14 \times 2+15 \times 1+16 \times 2+17 \times 3+18 \times 1+19 \times 2+20 \times 3+21 \times 1}{15}$
$= \frac{28+15+32+51+18+38+60+21}{15}$
$= \frac{263}{15}= 17.53$
$X$ का प्रसरण$ = \Sigma X^2 P(X) - ($माध्य$)^2$
$= \frac{\left[(14)^{2} \times 2+(15)^{2} \times 1+(16)^{2} \times 2+(17)^{2} \times 3 +(18)^{2} \times 1+(19)^{2} \times 2+(20)^{2} \times 3+(21)^{2} \times 1 \right]}{15}$ - $\left(\frac{263}{15}\right)^{2}$
$=\frac{392+225+512+867+324+722+1200+441}{15}$$-\left(\frac{263}{15}\right)^{2}$
$= \frac{4683}{15}-\left(\frac{263}{15}\right)^{2} = 312.2 - 307.4 = 4.8$
$X$ का मानक विचलन $X = \sqrt{4.8} = 2.19$
विद्यार्थियों की आयु बढ़ते क्रम में $14, 14, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 19, 20, 20, 20, 21$ है।
अब, $P(X = 14) = \frac{2}{15}, P(X = 15) = \frac{1}{15}, P(X = 16) = \frac{2}{15}, P(X = 17) = \frac{3}{15}$
$P(X = 18) = \frac{1}{15}, P(X = 19) = \frac{2}{15}, P(X = 20) = \frac{3}{15}, (X = 21) = \frac{1}{15}$
अतः यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता बंटन निम्नलिखित है।
| $X$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ | $21$ |
| विद्यार्थियों की संख्या | $2$ | $1$ | $2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $3$ | $1$ |
| $P(X)$ | $ \frac{2}{15}$ | $ \frac{1}{15}$ | $ \frac{2}{15}$ | $ \frac{3}{15}$ | $ \frac{1}{15}$ | $ \frac{2}{15}$ | $ \frac{3}{15}$ | $ \frac{1}{15}$ |
$X$ का माध्य$ = \Sigma \times P(X)$
$= \frac{14 \times 2+15 \times 1+16 \times 2+17 \times 3+18 \times 1+19 \times 2+20 \times 3+21 \times 1}{15}$
$= \frac{28+15+32+51+18+38+60+21}{15}$
$= \frac{263}{15}= 17.53$
$X$ का प्रसरण$ = \Sigma X^2 P(X) - ($माध्य$)^2$
$= \frac{\left[(14)^{2} \times 2+(15)^{2} \times 1+(16)^{2} \times 2+(17)^{2} \times 3 +(18)^{2} \times 1+(19)^{2} \times 2+(20)^{2} \times 3+(21)^{2} \times 1 \right]}{15}$ - $\left(\frac{263}{15}\right)^{2}$
$=\frac{392+225+512+867+324+722+1200+441}{15}$$-\left(\frac{263}{15}\right)^{2}$
$= \frac{4683}{15}-\left(\frac{263}{15}\right)^{2} = 312.2 - 307.4 = 4.8$
$X$ का मानक विचलन $X = \sqrt{4.8} = 2.19$
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