मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ है इस प्रकार कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।
Miscellaneous Exercise-16
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दिया है$, [a, b]$ पर$, f^{\prime}(x) > 0$
$\therefore [a, b]$ पर$, f$ एक अवकलनीय फलन है और प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत् होता है। इसलिए $f[a, b]$ पर सतत् है।
मान लीजिए कि $x_1, x_2 \in [a, b]$ और $x_2 > x_1,$ तब लेगरेन्ज के औसत मान प्रमेय द्वारा, एक $c \in [a, b]$ इस प्रकार है कि
$f^{\prime}(c) = \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$
$\Rightarrow f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) = \left(x_{2}-x_{1}\right) f^{\prime}(c)$
$\Rightarrow f \left(x_{2}\right) - f \left(x_{1}\right) > 0$ जैसा कि $x_2 > x_{1}$
और $f^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f \left(x_{2}\right) > f \left(x_{1}\right)$
$\therefore x_{1} < x_{2}$ के लिए
$\Rightarrow f \left(x_{1}\right)$ इसलिए $(a, b)$ पर $f$ वर्धमान फलन है।
$\therefore [a, b]$ पर$, f$ एक अवकलनीय फलन है और प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत् होता है। इसलिए $f[a, b]$ पर सतत् है।
मान लीजिए कि $x_1, x_2 \in [a, b]$ और $x_2 > x_1,$ तब लेगरेन्ज के औसत मान प्रमेय द्वारा, एक $c \in [a, b]$ इस प्रकार है कि
$f^{\prime}(c) = \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$
$\Rightarrow f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right) = \left(x_{2}-x_{1}\right) f^{\prime}(c)$
$\Rightarrow f \left(x_{2}\right) - f \left(x_{1}\right) > 0$ जैसा कि $x_2 > x_{1}$
और $f^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f \left(x_{2}\right) > f \left(x_{1}\right)$
$\therefore x_{1} < x_{2}$ के लिए
$\Rightarrow f \left(x_{1}\right)$ इसलिए $(a, b)$ पर $f$ वर्धमान फलन है।
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