एक पासे को छ: बार उछालने पर अधिकतम 2 बार छ: आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Exercise-13.5-12
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एक पासे के उत्तरोत्तर उछालने का परीक्षण एक बरनौली परीक्षण है। मान लीजिए X, एक पासे की 6 उछालों में 6 आने की संख्या को निरूपित करता है।
p = P (पासे की उछाल पर संख्या 6 प्राप्त होना ) = $\frac{1}{6}$ तथा q = 1 - p = 1 - $\frac{1}{6}$ =$\frac{5}{6}$
स्पष्टत: X बंटन, r = 6, p = $\frac{1}{6}$ तथा q = $\frac{5}{6}$ वाला एक प्रायिकता बंटन है।
$\therefore$ P(X = r) = $ { }^{n} C_{r} \cdot p^{\prime} q^{n-r}$ = ${ }^{6} C_{r} $$\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{r}$$\left(\frac{5}{6}\right)^{6-r}$
$\therefore$ P (अधिकतम दो बार 6 प्राप्त होना) = P(X$ \leq$ 2) = P(0) + P(1) + P(2)
= $ { }^{6} C_{0} p^{0} q^{6}$$+{ }^{6} C_{1} p^{1} q^{5}$$+{ }^{6} C_{2} p^{2} q^{4}$ = $q^{6}+6 p q^{5}$$+15 p^{2} q^{4}$
= $q^{4}\left(q^{2}+6 p q+15 p^{2}\right)$ = $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$$\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+6 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+15 \times\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\right]$
= $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$$\left[\frac{25+30+15}{36}\right]$ = $\frac{70}{36}\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$ = $\frac{35}{18} \cdot$$\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$
p = P (पासे की उछाल पर संख्या 6 प्राप्त होना ) = $\frac{1}{6}$ तथा q = 1 - p = 1 - $\frac{1}{6}$ =$\frac{5}{6}$
स्पष्टत: X बंटन, r = 6, p = $\frac{1}{6}$ तथा q = $\frac{5}{6}$ वाला एक प्रायिकता बंटन है।
$\therefore$ P(X = r) = $ { }^{n} C_{r} \cdot p^{\prime} q^{n-r}$ = ${ }^{6} C_{r} $$\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{r}$$\left(\frac{5}{6}\right)^{6-r}$
$\therefore$ P (अधिकतम दो बार 6 प्राप्त होना) = P(X$ \leq$ 2) = P(0) + P(1) + P(2)
= $ { }^{6} C_{0} p^{0} q^{6}$$+{ }^{6} C_{1} p^{1} q^{5}$$+{ }^{6} C_{2} p^{2} q^{4}$ = $q^{6}+6 p q^{5}$$+15 p^{2} q^{4}$
= $q^{4}\left(q^{2}+6 p q+15 p^{2}\right)$ = $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$$\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+6 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}+15 \times\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\right]$
= $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$$\left[\frac{25+30+15}{36}\right]$ = $\frac{70}{36}\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$ = $\frac{35}{18} \cdot$$\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$
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