एक त्रिभुज $\text{ABC}$ के $A, B$ और $C$ शीर्षों को केंद्र मानकर तथा त्रिज्याएँ $5 \ cm$ लेकर आकृति में दर्शाए अनुसार चाप खींचे गये हैं। यदि $AB = 14 \ cm, BC = 48 \ cm$ और $CA = 50 \ cm$ है, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए $(\pi = 3.14$ का प्रयोग कीजिए।$)$
example-12.4-2
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कोण $A$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
कोण $B$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}=\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
तथा कोण $C$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
अतः, तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल $(cm^2$ में$)$ का योग
$=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}+\frac{\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}$
$=\frac{\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times 25 \pi$
$=\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 25 \pi ($ क्योंकि $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ})$
$=25 \times \frac{\pi}{2}=25 \times 1.57 = 39.25$
अब, $\triangle \text{ABC}$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम ज्ञात करते हैं:
$\mathrm{s}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{48+50+14}{2} \mathrm{~cm} = 56 \ cm$
हिरोन के सूत्र द्वारा,
$\text{ar(ABC)} =\sqrt{\mathrm{s}(\mathrm{s}-a)(\mathrm{s}-b)(\mathrm{s}-c)}$
$=\sqrt{56 \times 8 \times 6 \times 42} \mathrm{~cm}^{2}$
$= 336 \ cm^2$
अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ त्रिभुज $\text{ABC}$ का क्षेत्रफल $-$ तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
$= (336 - 39.25) \ cm^2 = 296.75 \ cm^2$
$\text{ar(ABC)}$ के लिए वैकल्पिक विधि
यहाँ $AB^2 + BC^2 = (14)^2 + (48)^2 = 2500 = (50)^2 = (CA)^2$
अतः$ \angle B = 90^\circ$ है। $($पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा$)$
इसलिए, $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} =\frac{1}{2} \times 14 \times 48 \mathrm{~cm}^{2} = 336 \ cm^2$
कोण $B$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}=\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
तथा कोण $C$ वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
अतः, तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल $(cm^2$ में$)$ का योग
$=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}+\frac{\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}$
$=\frac{\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times 25 \pi$
$=\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 25 \pi ($ क्योंकि $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ})$
$=25 \times \frac{\pi}{2}=25 \times 1.57 = 39.25$
अब, $\triangle \text{ABC}$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम ज्ञात करते हैं:
$\mathrm{s}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{48+50+14}{2} \mathrm{~cm} = 56 \ cm$
हिरोन के सूत्र द्वारा,
$\text{ar(ABC)} =\sqrt{\mathrm{s}(\mathrm{s}-a)(\mathrm{s}-b)(\mathrm{s}-c)}$
$=\sqrt{56 \times 8 \times 6 \times 42} \mathrm{~cm}^{2}$
$= 336 \ cm^2$
अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ त्रिभुज $\text{ABC}$ का क्षेत्रफल $-$ तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
$= (336 - 39.25) \ cm^2 = 296.75 \ cm^2$
$\text{ar(ABC)}$ के लिए वैकल्पिक विधि
यहाँ $AB^2 + BC^2 = (14)^2 + (48)^2 = 2500 = (50)^2 = (CA)^2$
अतः$ \angle B = 90^\circ$ है। $($पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा$)$
इसलिए, $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} =\frac{1}{2} \times 14 \times 48 \mathrm{~cm}^{2} = 336 \ cm^2$
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