किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय $X$ के लिए मान लीजिए कि $*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X), $जहाँ $A * B = (A - B) \cup (B - A), \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\phi,$ संक्रिया $*$ का तत्समक है तथा $P(X)$ के समस्त अवयव $A$ व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $A^{-1} = A..$
Miscellaneous Exercise-13
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समुच्चय $P(X)$ पर संक्रिया $*,$
$A * B = (A - B) \cup (B - A), \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए
$A \in P(X)$
तब, $A * \phi = (A - \phi) \cup (\phi - A) = A \cup $
$\phi = A$
तथा $\phi * A = (\phi-A) \cup (A - \phi) = \phi$
$ \cup A = A$
$\therefore A*\phi = \phi* A, \forall A \in P(X)$
अतः द्विआधारी संक्रिया $A * B = (A - B) \cup (B - A)$ के लिए $\phi$ एक तत्समक अवयव है। एक अवयव $A \in P(X)$ प्रतिलोमीय होगा यदि और केवल यदि $P(X)$ में एक अवयव $B \in P(X)$ प्रकार हो कि $A * B = B * A = \phi$
क्योंकि $\phi$ तत्समक अवयव है।
अब, $A * A = (A - A) \cup (A - A) = \phi$
$ \cup$
\phi = \phi
$\therefore A * A = \phi, \forall A \in P(X)$
अतः $P(X)$ के सभी अवयव $A$ प्रतिलोमीय है तथा $A^{-1} = A$ है।
$A * B = (A - B) \cup (B - A), \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित है। मान लीजिए
$A \in P(X)$
तब, $A * \phi = (A - \phi) \cup (\phi - A) = A \cup $
$\phi = A$
तथा $\phi * A = (\phi-A) \cup (A - \phi) = \phi$
$ \cup A = A$
$\therefore A*\phi = \phi* A, \forall A \in P(X)$
अतः द्विआधारी संक्रिया $A * B = (A - B) \cup (B - A)$ के लिए $\phi$ एक तत्समक अवयव है। एक अवयव $A \in P(X)$ प्रतिलोमीय होगा यदि और केवल यदि $P(X)$ में एक अवयव $B \in P(X)$ प्रकार हो कि $A * B = B * A = \phi$
क्योंकि $\phi$ तत्समक अवयव है।
अब, $A * A = (A - A) \cup (A - A) = \phi$
$ \cup$
\phi = \phi
$\therefore A * A = \phi, \forall A \in P(X)$
अतः $P(X)$ के सभी अवयव $A$ प्रतिलोमीय है तथा $A^{-1} = A$ है।
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