क्या बिंदु $(3, 2), (-2, -3)$ और $(2, 3)$ एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो बताइए कि किस प्रकार का त्रिभुज बनता है।
example-1
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आइए $PQ, QR$ और $PR$ ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करें, जहाँ $P(3, 2), Q(-2, -3)$ और $R(2, 3)$ दिए हुए बिंदु हैं। हमें प्राप्त होता है:
$PQ = \sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50} = 7.07 ($लगभग$)$
$QR = \sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52} = 7.21 ($लगभग$)$
$PR = \sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}} = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} = 1.41 ($लगभग$)$
चूँकि इन तीन दूरियों में से किन्हीं दो का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिए इन बिंदुओं $P, Q$ और $R$ से एक त्रिभुज बनता है।
साथ ही, यहाँ $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ है। अतः, पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, हमें ज्ञात होता है कि $\angle P = 90^\circ$ है।
$PQ = \sqrt{(3+2)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50} = 7.07 ($लगभग$)$
$QR = \sqrt{(-2-2)^{2}+(-3-3)^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{52} = 7.21 ($लगभग$)$
$PR = \sqrt{(3-2)^{2}+(2-3)^{2}} = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} = 1.41 ($लगभग$)$
चूँकि इन तीन दूरियों में से किन्हीं दो का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिए इन बिंदुओं $P, Q$ और $R$ से एक त्रिभुज बनता है।
साथ ही, यहाँ $PQ^2 + PR^2 = QR^2$ है। अतः, पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, हमें ज्ञात होता है कि $\angle P = 90^\circ$ है।
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